3^a Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos): Para cada função abaixo, aplique o teste da primeira derivada e faça um estudo do crescimento da função.
f(x)=x^3+5 x^2+3 x-4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para aplicarmos o teste da primeira derivada na função $ f(x) = x^{3} + 5x^{2} + 3x - 4 $ e, com isso, fazer um estudo do crescimento da função. O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas e como usar a derivada para entender onde a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, nos mostra se a função está subindo ou descendo naquele ponto.
Para $ f(x) = x^{3} + 5x^{2} + 3x - 4 $, aplicamos as regras de derivação:
f(x)
Calculando cada termo:
f(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 4

Passo 3

Agora que temos a derivada $ f’(x) = 3x^{2} + 10x + 3 $, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ onde $ f’(x) = 0 $. Esses pontos nos ajudam a determinar onde a função pode mudar de crescimento (de crescente para decrescente ou vice-versa).
Então, resolvemos a equação:
f'(x) = 3x^2 + 10x + 3

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática $ 3x^{2} + 10x + 3 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
3x^2 + 10x + 3 = 0
Onde $ a = 3 $, $ b = 10 $ e $ c = 3 x = -b pm raizb^2 - 4ac2a \Delta $):
a = 3
Como $ \Delta > 0 $, temos duas raízes reais:
b = 10
Portanto:
c = 3
De

Passo 5

Com os pontos críticos $ x = -3 $ e $ x = -\frac{1}{3} $, vamos dividir a reta dos números reais em intervalos para testar o sinal da derivada em cada intervalo. Isso nos dirá se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
Os intervalos são:
  1. $ (-\infty, -3) $
  2. $ (-3, -\frac{1}{3}) $
  3. $ (-\frac{1}{3}, +\infty) $

Passo 6

Vamos escolher um ponto de teste em cada intervalo e calcular $ f’(x) $ para verificar o sinal:
  1. Intervalo $ (-\infty, -3) $:
    • Ponto de teste: $ x = -4 $
    • $ f’(-4) = 3(-4)^{2} + 10(-4) + 3 = 3(16) - 40 + 3 = 48 - 40 + 3 = 11 $ (positivo)
  2. Intervalo $ (-3, -\frac{1}{3}) $:
    • Ponto de teste: $ x = -1 $
    • $ f’(-1) = 3(-1)^{2} + 10(-1) + 3 = 3(1) - 10 + 3 = 3 - 10 + 3 = -4 $ (negativo)
  3. Intervalo $ (-\frac{1}{3}, +\infty) $:
    • Ponto de teste: $ x = 0 $
    • $ f’(0) = 3(0)^{2} + 10(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3 $ (positivo)

Passo 7

Com os sinais determinados:
  • Intervalo $ (-\infty, -3) $: $ f’(x) > 0 $ → a função está crescente.
  • Intervalo $ (-3, -\frac{1}{3}) $: $ f’(x) < 0 $ → a função está decrescente.
  • Intervalo $ (-\frac{1}{3}, +\infty) $: $ f’(x) > 0 $ → a função está crescente.

Resposta

A função $ f(x) = x^{3} + 5x^{2} + 3x - 4 $ está crescente nos intervalos $ (-\infty, -3) $ e $ (-\frac{1}{3}, +\infty) $, e decrescente no intervalo $ (-3, -\frac{1}{3}) $.

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