Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos): Para cada função abaixo, aplique o teste da primeira derivada e faça um estudo do crescimento da função.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para aplicarmos o teste da primeira derivada na função $ f(x) = x^{3} + 5x^{2} + 3x - 4 $ e, com isso, fazer um estudo do crescimento da função. O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas e como usar a derivada para entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, nos mostra se a função está subindo ou descendo naquele ponto.
Para $ f(x) = x^{3} + 5x^{2} + 3x - 4 $, aplicamos as regras de derivação:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora que temos a derivada $ f’(x) = 3x^{2} + 10x + 3 $, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ onde $ f’(x) = 0 $. Esses pontos nos ajudam a determinar onde a função pode mudar de crescimento (de crescente para decrescente ou vice-versa).
Então, resolvemos a equação:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática $ 3x^{2} + 10x + 3 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 3 $, $ b = 10 $ e $ c = 3
\Delta $):
Como $ \Delta > 0 $, temos duas raízes reais:
Portanto:
Passo 5
Com os pontos críticos $ x = -3 $ e $ x = -\frac{1}{3} $, vamos dividir a reta dos números reais em intervalos para testar o sinal da derivada em cada intervalo. Isso nos dirá se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
Os intervalos são:
- $ (-\infty, -3) $
- $ (-3, -\frac{1}{3}) $
- $ (-\frac{1}{3}, +\infty) $
Passo 6
Vamos escolher um ponto de teste em cada intervalo e calcular $ f’(x) $ para verificar o sinal:
-
Intervalo $ (-\infty, -3) $:
- Ponto de teste: $ x = -4 $
- $ f’(-4) = 3(-4)^{2} + 10(-4) + 3 = 3(16) - 40 + 3 = 48 - 40 + 3 = 11 $ (positivo)
-
Intervalo $ (-3, -\frac{1}{3}) $:
- Ponto de teste: $ x = -1 $
- $ f’(-1) = 3(-1)^{2} + 10(-1) + 3 = 3(1) - 10 + 3 = 3 - 10 + 3 = -4 $ (negativo)
-
Intervalo $ (-\frac{1}{3}, +\infty) $:
- Ponto de teste: $ x = 0 $
- $ f’(0) = 3(0)^{2} + 10(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3 $ (positivo)
Passo 7
Com os sinais determinados:
- Intervalo $ (-\infty, -3) $: $ f’(x) > 0 $ → a função está crescente.
- Intervalo $ (-3, -\frac{1}{3}) $: $ f’(x) < 0 $ → a função está decrescente.
- Intervalo $ (-\frac{1}{3}, +\infty) $: $ f’(x) > 0 $ → a função está crescente.
Resposta
A função $ f(x) = x^{3} + 5x^{2} + 3x - 4 $ está crescente nos intervalos $ (-\infty, -3) $ e $ (-\frac{1}{3}, +\infty) $, e decrescente no intervalo $ (-3, -\frac{1}{3}) $.