Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos):
Encontre a derivada da função
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Encontre a derivada da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função $ f(x) = \arcsen(x) $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas inversas. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da derivada da arcseno e entender um pouco sobre como ela funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ \arcsen(x) $ é a função inversa do seno. Ou seja, se $ y = \arcsen(x) $, então $ \sin(y) = x $. Para encontrar a derivada de $ f(x) = \arcsen(x) $, podemos usar a regra da derivada de funções inversas.
Passo 3
A regra geral para a derivada de uma função inversa $ f^{-1}(x) $ é:
No nosso caso, $ f(y) = \sin(y) $, então $ f^{-1}(x) = \arcsen(x) $.
Passo 4
Precisamos calcular $ f’(y) $ onde $ y = \arcsen(x) $. Sabemos que:
Mas como $ \sin(y) = x $, podemos usar a identidade trigonométrica $ \cos^2(y) + \sin^2(y) = 1 $ para expressar $ \cos(y) $ em termos de $ x $:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da derivada de função inversa:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = \arcsen(x) $ é: