Dê o domínio maximal e esboce os gráficos das funções com regras:
f(x)=|x|+|x+1|+|x-2|.

Passo 1

O enunciado pede o domínio maximal e o esboço do gráfico da função
f(x) = |x| + |x+1| + |x-2|,
O conteúdo que vamos usar é a definição de valor absoluto, que nos leva a escrever a função de forma linear por partes, e depois desenhar cada segmento.

Passo 2

Como cada termo |x|, |x+1| e |x-2| está definido para todo xinR, o domínio maximal é
R

Passo 3

Identificamos onde cada módulo muda de sinal, pois aí a expressão interna passa de positiva para negativa ou vice-versa. As raízes das expressões dentro dos módulos são
x = 0, x = -1, x = 2
Logo, dividimos a reta real nos intervalos
(-infty,-1),;[-1,0),;[0,2),;[2,infty)

Passo 4

Em cada intervalo, substituímos lvert Arvert por A se A>=0 ou por -A se A<0. Assim obtemos:
f(x)= -3x+1, & x< -1, -,x+3, & -1<= x<0, x+3, & 0<= x<2, 3x-1, & x>=2

Passo 5

Calculamos os valores nos pontos de quebra para garantir que não haja descontinuidades e para termos os vértices do gráfico:
f(-1)=4, f(0)=3, f(2)=5
Note que os valores à esquerda e à direita coincidem em -1, em 0 e em 2, logo f é contínua.

Passo 6

Para esboçar o gráfico basta traçar cada reta com o coeficiente angular (inclinação) e passar pelos pontos calculados:
  • Em x< -1: reta de inclinação -3 passando por ( -1,4).
  • Em -1<= x<0: reta de inclinação -1 passando por (0,3).
  • Em 0<= x<2: reta de inclinação +1 passando por (2,5).
  • Em x>=2: reta de inclinação +3 saindo de (2,5).
O gráfico é uma função linear por partes, decrescente até x=0 (mínimo em f(0)=3) e crescente depois.

Resposta

Domínio maximal:
com vértices em e .

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