Dê o domínio maximal e esboce os gráficos das funções com regras: .
Passo 1
O enunciado pede o domínio maximal e o esboço do gráfico da função
O conteúdo que vamos usar é a definição de valor absoluto, que nos leva a escrever a função de forma linear por partes, e depois desenhar cada segmento.
Passo 2
Como cada termo , e está definido para todo , o domínio maximal é
Passo 3
Identificamos onde cada módulo muda de sinal, pois aí a expressão interna passa de positiva para negativa ou vice-versa. As raízes das expressões dentro dos módulos são
Logo, dividimos a reta real nos intervalos
Passo 4
Em cada intervalo, substituímos por se ou por se . Assim obtemos:
Passo 5
Calculamos os valores nos pontos de quebra para garantir que não haja descontinuidades e para termos os vértices do gráfico:
f(-1)=4, f(0)=3, f(2)=5
Note que os valores à esquerda e à direita coincidem em -1, em 0 e em 2, logo f é contínua.
Passo 6
Para esboçar o gráfico basta traçar cada reta com o coeficiente angular (inclinação) e passar pelos pontos calculados:
Em x< -1: reta de inclinação -3 passando por ( -1,4).
Em -1<= x<0: reta de inclinação -1 passando por (0,3).
Em 0<= x<2: reta de inclinação +1 passando por (2,5).
Em x>=2: reta de inclinação +3 saindo de (2,5).
O gráfico é uma função linear por partes, decrescente até x=0 (mínimo em f(0)=3) e crescente depois.