Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \ 1 & 2 & 3 \ 3 & 3 & 20\end{array}\\right)\’
\\left(\\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \ 1 & 2 & 3 \ 3 & 3 & 20\end{array}\\right)\’
Passo 1
O enunciado pede para a matriz
determinar seus autovalores, os autovetores correspondentes e a dimensão de cada autoespaço. Vamos usar o polinômio característico
det(A-lambda I)=0 para achar os autovalores e em seguida resolver
(A-lambda I)v=0 para cada
lambda .
Passo 2
Calculamos o determinante
Expansão por cofatores na primeira linha dá
Ao expandir e simplificar obtém-se
Passo 3
Buscamos raízes inteiras de
lambda^3-24lambda^2+65lambda-42=0 . Testando
lambda=1 verifica-se
logo
lambda=1 é raiz. Fazendo a divisão sintética por
lambda-1 obtemos o quociente
lambda^2-23lambda+42 , cujas raízes são
isto é
lambda=21 e
lambda=2 .
Portanto os autovalores distintos são
Portanto os autovalores distintos são
Passo 4
Para
resolvemos
Da primeira equação
e da terceira surge
. Então
.
Um autovetor correspondente é
Um autovetor correspondente é
Passo 5
Para
resolvemos
Das duas primeiras equações vêm
e
. A terceira é redundante.
Um autovetor é
Um autovetor é
Passo 6
Para
resolvemos
Da combinação das duas primeiras equações obtém-se
e então
.
Um autovetor é
Um autovetor é
Passo 7
Como os autovalores
lambda1=1 ,
lambda2=2 e
lambda3=21 são todos distintos, cada autoespaço é unidimensional.
Resposta
Autovalores e autovetores:
(a)lambda1 = 1 , autovetor
v1 = (1,-1,0)^T , dimensão do autoespaço
=1 .
(b)lambda2 = 2 , autovetor
v2 = (-3,-3,1)^T , dimensão do autoespaço
=1 .
(c)lambda3 = 21 , autovetor
v3 = (1,1,6)^T , dimensão do autoespaço
=1 .
(a)
(b)
(c)