Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \ 1 & 2 & 3 \ 3 & 3 & 20\end{array}\\right)\’

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
A = 2 & 1 & 3 1 & 2 & 3 3 & 3 & 20
determinar seus autovalores, os autovetores correspondentes e a dimensão de cada autoespaço. Vamos usar o polinômio característico det(A-lambda I)=0 para achar os autovalores e em seguida resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Calculamos o determinante
det(A-lambda I) =det 2-lambda & 1 & 3 1 & 2-lambda & 3 3 & 3 & 20-lambda
Expansão por cofatores na primeira linha dá
det(A-lambda I) &=(2-lambda)l((2-lambda)(20-lambda)-9r) -1l(1,(20-lambda)-3cdot3r) +3l(1cdot3-(2-lambda)cdot3r)
Ao expandir e simplificar obtém-se
det(A-lambda I) =lambda^3-24lambda^2+65lambda-42

Passo 3

Buscamos raízes inteiras de lambda^3-24lambda^2+65lambda-42=0. Testando lambda=1 verifica-se
1-24+65-42=0,
logo lambda=1 é raiz. Fazendo a divisão sintética por lambda-1 obtemos o quociente
lambda^2-23lambda+42, cujas raízes são
lambda = 23pmraiz23^2-4cdot422 =23pm192,
isto é lambda=21 e lambda=2.
Portanto os autovalores distintos são
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=21

Passo 4

Para resolvemos
Da primeira equação e da terceira surge . Então .
Um autovetor correspondente é

Passo 5

Para resolvemos
Das duas primeiras equações vêm e . A terceira é redundante.
Um autovetor é

Passo 6

Para resolvemos
Da combinação das duas primeiras equações obtém-se e então .
Um autovetor é

Passo 7

Como os autovalores lambda1=1, lambda2=2 e lambda3=21 são todos distintos, cada autoespaço é unidimensional.

Resposta

Autovalores e autovetores:
(a) lambda1 = 1, autovetor v1 = (1,-1,0)^T, dimensão do autoespaço =1.
(b) lambda2 = 2, autovetor v2 = (-3,-3,1)^T, dimensão do autoespaço =1.
(c) lambda3 = 21, autovetor v3 = (1,1,6)^T, dimensão do autoespaço =1.

Exercícios relacionados