A função
é diferenciável em
?
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar se ela é diferenciável em
. Para isso precisamos checar (i) continuidade em
e (ii) igualdade das derivadas laterais em
.
Passo 2
Para testar a continuidade em
, calculamos o valor da função pelo ramo de
e o limite lateral pela esquerda:
Pelo ramo :
Pelo ramo
Pela esquerda,
, o limite é
Como
, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora obtemos as derivadas de cada ramo:
No ramo :
No ramo
No ramo
:
Passo 4
Avaliamo-las em
:
Passo 5
As derivadas laterais em
são
e
, que não coincidem. Portanto não existe derivada única em
.
Resposta
Não,
não é diferenciável em
porque as derivadas laterais são diferentes.