A função
f(x)= x^2-6 x+9, & se x >= 2 x^2-2 x+1, & se x<2
é diferenciável em x=2 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= x^2-6x+9, & se x>=2, x^2-2x+1, & se x<2
e pede para verificar se ela é diferenciável em x=2. Para isso precisamos checar (i) continuidade em x=2 e (ii) igualdade das derivadas laterais em x=2.

Passo 2

Para testar a continuidade em x=2, calculamos o valor da função pelo ramo de x>=2 e o limite lateral pela esquerda:
Pelo ramo x>=2:
f(2)=2^2-6cdot2+9=1
Pela esquerda, x<2, o limite é
limxto2^-f(x)=2^2-2cdot2+1=1
Como f(2)=1=limxto2^-f(x), a função é contínua em x=2.

Passo 3

Agora obtemos as derivadas de cada ramo:
No ramo x>=2:
f+'(x)=ddx(x^2-6x+9)=2x-6
No ramo x<2:
f-'(x)=ddx(x^2-2x+1)=2x-2

Passo 4

Avaliamo-las em x=2:
f+'(2)=2cdot2-6=-2,
f-'(2)=2cdot2-2=2

Passo 5

As derivadas laterais em x=2 são f+'(2)=-2 e f-'(2)=2, que não coincidem. Portanto não existe derivada única em x=2.

Resposta

Não, f não é diferenciável em x=2 porque as derivadas laterais são diferentes.

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