A função é uma função contínua em R ? Justifique sua resposta corretamente.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x)=|x^2cos xx^2+1|
definida em R e pergunta se ela é contínua em todo R. O conteúdo aqui é continuidade de funções elementares e propriedades de operações (produto, quociente e composição) que preservam continuidade.
Passo 2
Antes de mais nada, observamos que as funções elementares envolvidas são contínuas em R:
xmapsto x^2 é polinomial, logo contínua em R.
xmapstocos x é contínua em R.
A soma xmapsto x^2+1 é contínua em R.
Passo 3
Pela propriedade de que o produto de funções contínuas é contínuo, segue que
g(x)=x^2cos x
é contínua em R.
Passo 4
Como h(x)=x^2+1 é contínua em R e satisfaz h(x)>=1>0 para todo x, o quociente
g(x)h(x)=x^2cos xx^2+1
é contínuo em R (já que não há divisão por zero).
Passo 5
Finalmente, a aplicação umapsto|u| é contínua em R e, portanto, a composição