A função f(x)=|x^2 cos xx^2+1| é uma função contínua em R ? Justifique sua resposta corretamente.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=|x^2cos xx^2+1|
definida em R e pergunta se ela é contínua em todo R. O conteúdo aqui é continuidade de funções elementares e propriedades de operações (produto, quociente e composição) que preservam continuidade.

Passo 2

Antes de mais nada, observamos que as funções elementares envolvidas são contínuas em R:
  1. xmapsto x^2 é polinomial, logo contínua em R.
  2. xmapstocos x é contínua em R.
  3. A soma xmapsto x^2+1 é contínua em R.

Passo 3

Pela propriedade de que o produto de funções contínuas é contínuo, segue que
g(x)=x^2cos x
é contínua em R.

Passo 4

Como h(x)=x^2+1 é contínua em R e satisfaz h(x)>=1>0 para todo x, o quociente
g(x)h(x)=x^2cos xx^2+1
é contínuo em R (já que não há divisão por zero).

Passo 5

Finalmente, a aplicação umapsto|u| é contínua em R e, portanto, a composição
f(x)=gl|x^2cos xx^2+1gr|
é contínua em R.

Resposta

Sim, f é contínua em todo R.

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