Use a fórmula d f=D F(P0) d s, para estimar com quatro casas decimais a variação de f(x, y, z)=ln raizx^2+y^2+z^2, quando (x, y, z) se deslocar a partir de P0(3,1,12) a uma distância d s=0,1 na direção e sentido de mu=37 i+67 j-27 k;

Passo 1

O enunciado pede para usar o diferencial de uma função de várias variáveis e estimar a variação de
f(x,y,z)=lnraizx^2+y^2+z^2 quando nos afastamos de
P0=(3,1,12) numa distância ds=0,1 na direção
mu=37i+67j-27k.
Vamos precisar do conceito de gradiente, derivada direcional e do diferencial df=nabla f(P0)cdotmu,ds.

Passo 2

Primeiro a gente encontra o gradiente de
f(x,y,z)=lnraizx^2+y^2+z^2.
Repare que
f(x,y,z)=ln(r), r=raizx^2+y^2+z^2
Como nabla (ln r)=1rnabla r e nabla r=(x,y,z)/r, segue que
nabla f(x,y,z)=(x,y,z)r^2=(x,y,z)x^2+y^2+z^2

Passo 3

No ponto P0=(3,1,12) temos
$$x2+y2+z^2=9+1+144=154,
\quad r=\sqrt{154}, x^2+y^2+z^2=9+1+144=154, r=raiz154,\nabla f(P_0)=\frac{(3,1,12)}{154}.
$$

Passo 4

Agora calculamos a derivada direcional em P0 na direção de
mu=l(tfrac37,tfrac67,-tfrac27r) usando o produto escalar:
Dmuf(P0)=nabla f(P0)cdotmu =1154l(3,1,12r)cdotl(tfrac37,tfrac67,-tfrac27r)
O numerador do escalar é
3cdot3+1cdot6+12cdot(-2)=9+6-24=-9 e o fator comum é 1/(154cdot7),
então
$$
D_{\mu}f(P_0)=-\frac{9}{154\cdot7}=-\frac{9}{1078}\approx-0,008350.$$

Passo 5

Finalmente, a variação aproximada df para um passo de comprimento
ds=0,1 é
df= Dmuf(P0),dsapprox(-0,008350)times0,1=-0,0008350
Arredondando para quatro casas decimais, fica -0,0008.

Resposta

-0,0008

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