Use a fórmula
, para estimar com quatro casas decimais a variação de
, quando
se deslocar a partir de
a uma distância
na direção e sentido de
;
Passo 1
O enunciado pede para usar o diferencial de uma função de várias variáveis e estimar a variação de
quando nos afastamos de
numa distância
na direção
.
Vamos precisar do conceito de gradiente, derivada direcional e do diferencial .
Vamos precisar do conceito de gradiente, derivada direcional e do diferencial
Passo 2
Primeiro a gente encontra o gradiente de
.
Repare que
Repare que
Como
Passo 3
No ponto
temos
$$x2+y2+z^2=9+1+144=154,
\quad r=\sqrt{154},
\nabla f(P_0)=\frac{(3,1,12)}{154}.
$$
Passo 4
Agora calculamos a derivada direcional em
na direção de
usando o produto escalar:
O numerador do escalar é
e o fator comum é
,
então
então
$$
D_{\mu}f(P_0)=-\frac{9}{154\cdot7}=-\frac{9}{1078}\approx-0,008350.$$
Passo 5
Finalmente, a variação aproximada
para um passo de comprimento
é
Arredondando para quatro casas decimais, fica
.
Resposta
-0,0008