Dê o domínio das seguintes funções reais:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o domínio da função real dada. A função fornecida é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão tem uma raiz quadrada
. - Essa raiz aparece no denominador de uma fração.
Passo 2
Regras básicas (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
- Regra 1: Para a raiz quadrada real
, o radicando precisa ser maior ou igual a zero, porque não consideramos raízes reais de números negativos. Em símbolos: se há , então é necessário que . - Regra 2: Em uma fração
, o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não está definida.
Aplicando essas regras à função:
- O radicando é
. Pela Regra 1 devemos ter
- Além disso, a raiz
está no denominador, então pela Regra 2 precisamos de
Agora vamos transformar essas condições em inequações em
.
Passo 3
Resolver as condições encontradas:
- Da condição
obtemos, subtraindo dos dois lados,
- Da condição
sabemos que a raiz é zero exatamente quando o radicando é zero. Ou seja, ocorre quando , isto é . Portanto a condição equivale a
Agora combinamos as duas condições: precisamos de
e ao mesmo tempo
. Isso dá a desigualdade estrita
Passo 4
Interpretação final e checagem com exemplos:
- A solução
significa todos os números reais maiores que . - Testes rápidos para confirmar:
- Se
então (definido). - Se
então (definido). - Se
então e ficaríamos com divisão por zero — não permitido. - Se
, por exemplo , o radicando é negativo ( ) e não é real — não permitido.
Portanto a única escolha possível é.
- Se