Dê o domínio das seguintes funções reais:
g(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o domínio da função real dada. A função fornecida é
g(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão tem uma raiz quadrada \sqrt{x+1}.
  • Essa raiz aparece no denominador de uma fração.

Passo 2

Regras básicas (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
  • Regra 1: Para a raiz quadrada real \sqrt{\,\cdot\,}, o radicando precisa ser maior ou igual a zero, porque não consideramos raízes reais de números negativos. Em símbolos: se há \sqrt{A}, então é necessário que A\ge0.
  • Regra 2: Em uma fração \dfrac{1}{B}, o denominador B não pode ser zero, pois divisão por zero não está definida.
Aplicando essas regras à função:
  • O radicando é x+1. Pela Regra 1 devemos ter
x+1 \ge 0.
  • Além disso, a raiz \sqrt{x+1} está no denominador, então pela Regra 2 precisamos de
\sqrt{x+1} \neq 0.
Agora vamos transformar essas condições em inequações em x.

Passo 3

Resolver as condições encontradas:
  • Da condição x+1 \ge 0 obtemos, subtraindo 1 dos dois lados,
x \ge -1.
  • Da condição \sqrt{x+1} \neq 0 sabemos que a raiz é zero exatamente quando o radicando é zero. Ou seja, \sqrt{x+1}=0 ocorre quando x+1=0, isto é x=-1. Portanto a condição \sqrt{x+1}\neq0 equivale a
x \neq -1.
Agora combinamos as duas condições: precisamos de x\ge-1 e ao mesmo tempo x\neq-1. Isso dá a desigualdade estrita
x>-1.

Passo 4

Interpretação final e checagem com exemplos:
  • A solução x>-1 significa todos os números reais maiores que -1.
  • Testes rápidos para confirmar:
    • Se x=0 então g(0)=\dfrac{1}{\sqrt{0+1}}=\dfrac{1}{1}=1 (definido).
    • Se x=-\tfrac{1}{2} então g(-\tfrac{1}{2})=\dfrac{1}{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} (definido).
    • Se x=-1 então \sqrt{-1+1}=\sqrt{0}=0 e ficaríamos com divisão por zero — não permitido.
    • Se x<-1, por exemplo x=-2, o radicando é negativo ( -2+1=-1) e \sqrt{x+1} não é real — não permitido.
      Portanto a única escolha possível é x>-1.

Resposta

(-1,\infty)

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