A dona de uma loja observou que o lucro (L) de sua loja dependia da quantidade de clientes (c) que frequentava o mesmo diariamente. Um matemático analisando a situação estabeleceu a seguinte função: L(c)=-c^2+60 c-500
Qual seria o número de clientes necessário para que a dona da loja obtivesse o lucro máximo em seu estabelecimento?

Passo 1

O enunciado dá a função de lucro em função do número de clientes diário:
L(c) = -c^2 + 60c - 500
Isso é uma parábola do segundo grau com coeficiente líder negativo, ou seja, abre para baixo e tem um único ponto de máximo (vértice). Para encontrar o número de clientes que maximiza o lucro, vamos achar a coordenada do vértice dessa parábola.

Passo 2

Em uma função quadrática genérica
f(x) = ax^2 + bx + c,
o valor de x no vértice é dado pela fórmula
xV = -b2a
Como aqui queremos o c que maximiza L(c), usamos a mesma ideia trocando x por c.

Passo 3

Na função L(c) = -c^2 + 60c - 500 temos
a = -1, b = 60
Logo, o valor de c no vértice é
cV = -602 cdot (-1) = -60-2 = 30

Passo 4

Como a=-1<0, a parábola abre para baixo e este vértice realmente corresponde a um máximo de L(c). Portanto, com 30 clientes por dia o lucro é o maior possível.

Resposta

30 clientes.

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