Encontrar o plano tangente e vetor normal em P.
(b) x+y+z=17, P=(3,4,10).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente e o vetor normal à superfície implícita definida por x+y+z=17 no ponto P=(3,4,10). Vamos usar a função implícita F(x,y,z), calcular seu gradiente para obter o vetor normal e então montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x+y+z-17,
de modo que a superfície F(x,y,z)=0 coincide com x+y+z=17. O gradiente de F é
nabla F(x,y,z)=l(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial zr)=(1,1,1)

Passo 3

Em P=(3,4,10) temos
labelnormal nabla F(3,4,10)=(1,1,1),
que é exatamente o vetor normal à superfície nesse ponto.

Passo 4

A equação do plano tangente em P vem de
nabla F(3,4,10)cdotl((x,y,z)-(3,4,10)r)=0,
isto é,
1,(x-3)+1,(y-4)+1,(z-10)=0
e, reorganizando,
x+y+z=17

Resposta

Vetor normal: (1,1,1)
Plano tangente: x+y+z=17

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