Encontrar o plano tangente e vetor normal em P.
(d) z=e^x+2 y, P=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície z=e^x+2y e pede o plano tangente e o vetor normal no ponto P=(0,0,1). Vamos usar derivadas parciais de f(x,y)=e^x+2y para obter a equação do plano tangente e, em seguida, o vetor normal.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xe^x+2y=e^x+2y, fy(x,y)=partialpartial ye^x+2y=2e^x+2y
No ponto (0,0) temos
fx(0,0)=e^0=1, fy(0,0)=2e^0=2

Passo 3

A equação do plano tangente em (x0,y0,z0)=(0,0,1) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo os valores:
z - 1 = 1cdot x + 2cdot y Longrightarrow z = x + 2y + 1

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente pode ser escrito como
n = l(-fx(0,0),,-fy(0,0),,1r) = (-1,,-2,,1)

Resposta

Plano tangente: z = x + 2y + 1.
Vetor normal: n=(-1,-2,1).

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