CALCULAR O VOLUME DO TETRAEDRO LIMITADO PELO PLANO x^a+y^b+z^c=1 E PELOS PLANOS x=0, Y=0, z=0 com A, B, C>0,

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e pela superfície
x^a + y^b + z^c = 1,
onde a,b,c>0. Vamos usar integração tripla em coordenadas cartesianas, seguido de mudança de variáveis para reconhecer uma integral do tipo Beta/Gama.

Passo 2

Escolhemos a ordem dz,dy,dx. Para cada (x,y) no domínio em que x,y>=0 e x^a+y^b<=1, temos
0 <= z <= l(1 - x^a - y^br)^tfrac1c
Logo
V ;=;integralx=0^1integraly=0^(1 - x^a)^!1/bintegralz=0^(1 - x^a - y^b)^1/c dz,dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral0^(1 - x^a - y^b)^1/cdz = l(1 - x^a - y^br)^tfrac1c
Então
V = integral0^1integral0^(1 - x^a)^1/b l(1 - x^a - y^br)^tfrac1cdy,dx

Passo 4

Fazemos a mudança de variáveis
u = x^a, v = y^b,
então
dx = 1a,u^tfrac1a - 1du, dy = 1b,v^tfrac1b - 1dv
Os limites ficam uin[0,1], vin[0,1-u]. Assim
V = 1ab integralu=0^1integralv=0^1-u u^tfrac1a - 1,v^tfrac1b - 1, l(1 - u - vr)^tfrac1c,dv,du

Passo 5

Reconhecemos a integral sobre o triângulo u,v>=0, u+v<=1 do tipo
integralu+v<=1 u^alpha-1v^beta-1(1-u-v)^gamma-1du,dv = Gamma(alpha),Gamma(beta),Gamma(gamma) Gamma(alpha+beta+gamma),
onde aqui alpha = tfrac1a, beta = tfrac1b, gamma = 1 + tfrac1c. Logo
V = 1ab, Gammal(tfrac1ar), Gammal(tfrac1br), Gammal(1+tfrac1cr) Gammal(tfrac1a+tfrac1b+1+tfrac1cr)

Passo 6

Usamos Gamma(1+tfrac1c)=tfrac1c,Gamma(tfrac1c) e
Gammal(tfrac1a+tfrac1b+1+tfrac1cr) =(tfrac1a+tfrac1b+tfrac1c), Gammal(tfrac1a+tfrac1b+tfrac1cr). Assim
V = 1ab, tfrac1c,Gamma(tfrac1a),Gamma(tfrac1b),Gamma(tfrac1c) l(tfrac1a+tfrac1b+tfrac1cr), Gammal(tfrac1a+tfrac1b+tfrac1cr) = 1abc, Gamma(tfrac1a),Gamma(tfrac1b),Gamma(tfrac1c) l(tfrac1a+tfrac1b+tfrac1cr), Gammal(tfrac1a+tfrac1b+tfrac1cr)

Resposta

V = 1abc, Gammal(tfrac1ar), Gammal(tfrac1br), Gammal(tfrac1cr) l(tfrac1a+tfrac1b+tfrac1cr), Gammal(tfrac1a+tfrac1b+tfrac1cr)

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