CALCULAR O VOLUME DO TETRAEDRO LIMITADO PELO PLANO
E PELOS PLANOS
com
,
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos
,
,
e pela superfície
onde
. Vamos usar integração tripla em coordenadas cartesianas, seguido de mudança de variáveis para reconhecer uma integral do tipo Beta/Gama.
Passo 2
Escolhemos a ordem
. Para cada
no domínio em que
e
, temos
Logo
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Então
Passo 4
Fazemos a mudança de variáveis
então
Os limites ficam
,
. Assim
Passo 5
Reconhecemos a integral sobre o triângulo
,
do tipo
onde aqui
,
,
. Logo
Passo 6
Usamos
e
. Assim