Dorf P1.5-5: Uma bateria de automóvel é carregada com uma corrente constante de 2 A durante cinco horas. A tensão entre os terminais da bateria é v=11+0,5 t V para \mathrm{t}>0, em que t está em horas. (a) Determine a energia fornecida à bateria durante as cinco horas. (b) Se a energia elétrica custa 15 centavos / \mathrm{kWh}, determine o custo para carregar a bateria.

Passo 1

O enunciado diz que uma bateria é carregada com corrente constante de 2\\ \mathrm{A} durante 5 horas, e que a tensão entre seus terminais varia com o tempo segundo
v(t)=11+0,5\,t\quad[\mathrm{V}],\quad t\text{ em horas}.
Pede-se:
(a) a energia elétrica fornecida à bateria em 5 horas;
(b) o custo para carregar, sabendo que a energia custa 0,15 por \mathrm{kWh}.

Passo 2

Para achar a energia elétrica fornecida usamos que a potência instantânea é
P(t)=v(t)\,i=(11+0,5\,t)\cdot2\quad[\mathrm{W\text{ (quando }t\text{ está em horas, isto dá }\mathrm{Wh}/\mathrm{h})}].áá
A energia entregue de t=0 até t=5 horas é
E=\int_{0}^{5}P(t)\,\mathrm{d}t =\int_{0}^{5}2\bigl(11+0,5\,t\bigr)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Calculemos o valor dessa integral:
E =2\int_{0}^{5}\bigl(11+0,5\,t\bigr)\,\mathrm{d}t =2\Bigl[11\,t + 0,25\,t^{2}\Bigr]_{0}^{5} =2\bigl(11\cdot5 + 0,25\cdot5^{2}\bigr) =2\bigl(55 + 6,25\bigr) =122,5\\ \mathrm{Wh}.
Convertendo para \mathrm{kWh}:
E=122,5\\ \mathrm{Wh}=0{,}1225\\ \mathrm{kWh}.

Passo 4

O custo é o produto da energia em \mathrm{kWh} pelo preço 0,15 por \mathrm{kWh}:
\text{Custo} =0{,}1225\\ \mathrm{kWh}\times 0{,}15\\ \frac{\text{(moeda)}}{\mathrm{kWh}} =0{,}018375\\ \text{(moeda)}.
Arredondando, dá aproximadamente 0{,}0184 da unidade monetária usada.

Resposta

(a) E=122{,}5\\ \mathrm{Wh} (ou 0{,}1225\\ \mathrm{kWh}).
(b) Custo \approx 0{,}0184 (na mesma unidade monetária, ex.: reais).

Exercícios relacionados