Dotermine um campo escalar \varphi tal que \vec{F}=\nabla \varphi c usc-a para calcular \int_{\alpha} \vec{F} \cdot d \vec{d}.
\vec{F}(x, y)=x y^{2} \vec{i}+x^{2} y \vec{j}, \alpha: \vec{\alpha}(t)=\left(t+\sin \left(\frac{\pi t}{2}\right), t+\cos \left(\frac{\pi t}{2}\right)\right), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a campo vetorial
\vec{F}(x,y)=x y^{2}\,\vec{i}+x^{2}y\,\vec{j}
e a curva parâmetrada
\vec{\alpha}(t)=\bigl(t+\sin\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr),\;t+\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr)\bigr),\qquad 0\le t\le1.
O que se pede:
  • Determinar um campo escalar \varphi tal que \vec{F}=\nabla\varphi.
  • Usar isso para calcular \displaystyle\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Informações relevantes extraídas:
  • As componentes do campo são P(x,y)=x y^{2} e Q(x,y)=x^{2}y.
  • A curva é dada parametricamente por \vec{\alpha}(t) com t\in[0,1].

Passo 2

Breve aula útil (sem pular etapas):
  • Definição: o gradiente de uma função escalar \varphi(x,y) é
\nabla\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right).
Se \vec{F}=(P,Q) e existe \varphi com \vec{F}=\nabla\varphi, dizemos que \vec{F} é conservativo e \varphi é potencial.
  • Critério prático em \mathbb{R}^{2} (domínio simplesmente conexo): é suficiente verificar que
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Se isso ocorre, existe \varphi (a menos de constante).
  • Teorema fundamental para gradientes: se \vec{F}=\nabla\varphi então, para uma curva \alpha que vai de A a B,
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Isto transforma o cálculo da integral de linha numa avaliação simples de \varphi nos extremos.

Passo 3

Verificar a condição de conservatividade passo a passo:
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{2}\bigr)=x\cdot 2y=2xy.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr)=2x y.
Como
\frac{\partial P}{\partial y}=2xy=\frac{\partial Q}{\partial x},
a condição é satisfeita em todo \mathbb{R}^{2} (domínio simplesmente conexo). Logo existe potencial \varphi.

Passo 4

Encontrar \varphi integrando a componente P em relação a x:
  • Integração direta:
\varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx=\int x y^{2}\,dx.
Aqui y é tratada como constante na integração em x. Assim
\varphi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração dependente de y).

Passo 5

Determinar h(y) comparando com Q:
  • Calcular \partial\varphi/\partial y:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h(y)\Bigr)=\frac{1}{2}x^{2}\cdot 2y + h'(y)=x^{2}y+h'(y).
  • Mas deve valer \partial\varphi/\partial y=Q(x,y)=x^{2}y. Portanto
x^{2}y+h'(y)=x^{2}y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
  • Assim h(y)=C, constante real. Podemos escolher C=0 (potencial definido até adição de constante). Logo um potencial conveniente é
\varphi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}.

Passo 6

Aplicar o teorema fundamental para calcular a integral. Primeiro achar pontos inicial e final da curva:
  • Para t=0:
\vec{\alpha}(0)=\bigl(0+\sin0,\;0+\cos0\bigr)=(0,1).
  • Para t=1:
\vec{\alpha}(1)=\bigl(1+\sin(\tfrac{\pi}{2}),\;1+\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr)=(1+1,\;1+0)=(2,1).
Portanto a curva vai de A=(0,1) a B=(2,1).

Passo 7

Avaliar o potencial nos extremos e subtrair:
  • Calcular \varphi em B=(2,1):
\varphi(2,1)=\frac{1}{2}\cdot 2^{2}\cdot 1^{2}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1=2.
  • Calcular \varphi em A=(0,1):
\varphi(0,1)=\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\cdot 1^{2}=0.
  • Pelo teorema,
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A)=2-0=2.

Resposta

\varphi(x,y)=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}\n
\displaystyle\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{r}=2

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