Dotermine um campo escalar
tal que
c usc-a para calcular
.
.
Passo 1
O enunciado dá a campo vetorial
e a curva parâmetrada
O que se pede:
- Determinar um campo escalar
tal que . - Usar isso para calcular
.
Informações relevantes extraídas:
- As componentes do campo são
e . - A curva é dada parametricamente por
com .
Passo 2
Breve aula útil (sem pular etapas):
- Definição: o gradiente de uma função escalar
é
Se
e existe
com
, dizemos que
é conservativo e
é potencial.
- Critério prático em
(domínio simplesmente conexo): é suficiente verificar que
Se isso ocorre, existe
(a menos de constante).
- Teorema fundamental para gradientes: se
então, para uma curva que vai de a ,
Isto transforma o cálculo da integral de linha numa avaliação simples de
nos extremos.
Passo 3
Verificar a condição de conservatividade passo a passo:
- Calcular
:
- Calcular
:
Como
a condição é satisfeita em todo
(domínio simplesmente conexo). Logo existe potencial
.
Passo 4
Encontrar
integrando a componente
em relação a
:
- Integração direta:
Aqui
é tratada como constante na integração em
. Assim
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração dependente de
).
Passo 5
Determinar
comparando com
:
- Calcular
:
- Mas deve valer
. Portanto
- Assim
, constante real. Podemos escolher (potencial definido até adição de constante). Logo um potencial conveniente é
Passo 6
Aplicar o teorema fundamental para calcular a integral. Primeiro achar pontos inicial e final da curva:
- Para
:
- Para
:
Portanto a curva vai de
a
.
Passo 7
Avaliar o potencial nos extremos e subtrair:
- Calcular
em :
- Calcular
em :
- Pelo teorema,