Dotermine um campo escalar \varphi tal que \vec{F}=\nabla \varphi c usc-a para calcular \int_{\alpha} \vec{F} \cdot d \vec{d}.
\vec{F}(x, y)=\frac{y^{2}}{1+x^{2}} \vec{i}+2 y \arctan x \vec{j}, \alpha: \vec{\alpha}(t)=t^{2} \vec{i}+2 t \vec{j}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Campo vetorial dado: \vec{F}(x,y)=\dfrac{y^{2}}{1+x^{2}}\vec{i}+2y\arctan x\;\vec{j}.
  • Curva de integração parametrizada: \vec{\alpha}(t)=t^{2}\vec{i}+2t\vec{j}, com 0\le t\le1. Isso significa que o ponto genérico sobre a curva tem coordenadas x=t^{2} e y=2t.
  • O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar um campo escalar \varphi tal que \vec{F}=\nabla\varphi (ou seja, um potencial escalar de \vec{F}); (ii) usar esse potencial para calcular a integral de linha \displaystyle\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Primeiro vamos verificar se \vec{F} é de fato um campo gradiente (isto é, se existe \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}). Escrevendo as componentes:
P(x,y)=\frac{y^{2}}{1+x^{2}},\qquad Q(x,y)=2y\arctan x.
Para que \vec{F} seja gradiente em todo \mathbb{R}^{2} (domínio aqui é o plano, já que 1+x^{2}\neq0 sempre e \arctan x é definida para todo x), uma condição suficiente é a igualdade das derivadas mistas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculemos cada derivada parcial de forma clara.

Passo 3

Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=\dfrac{y^{2}}{1+x^{2}}, ao derivar em relação a y tratamos x como constante:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{2y}{1+x^{2}}.
Agora calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=2y\arctan x, ao derivar em relação a x tratamos y como constante e usamos \dfrac{d}{dx}(\arctan x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=2y\cdot\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{2y}{1+x^{2}}.
As duas derivadas coincidem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{2y}{1+x^{2}}.
Portanto \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^{2}, logo existe potencial \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 4

Para achar \varphi usamos a relação entre as componentes do gradiente e as derivadas parciais:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=\frac{y^{2}}{1+x^{2}},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=2y\arctan x.
Uma estratégia conveniente é integrar \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=2y\arctan x em relação a y (tratando x como constante). Ao integrar:
\varphi(x,y)=\int 2y\arctan x\,dy = y^{2}\arctan x + g(x),
onde g(x) é uma função de x só (constante de integração em relação a y).

Passo 5

Agora determinamos g(x) impondo \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y). Derivando a expressão obtida para \varphi em relação a x:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\arctan x + g(x)\bigr)=y^{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}+g'(x).
Essa derivada deve ser igual a P(x,y)=\dfrac{y^{2}}{1+x^{2}}. Igualando:
y^{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}+g'(x)=\frac{y^{2}}{1+x^{2}}.
Cancelando os termos iguais, obtemos g'(x)=0. Logo g(x)=C, uma constante real.
Portanto podemos escolher, sem perda, a constante C=0 e tomar como potencial
\varphi(x,y)=y^{2}\arctan x.

Passo 6

Agora usamos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos gradiente: se \vec{F}=\nabla\varphi e \alpha é uma curva de t=a até t=b, então
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi\bigl(\alpha(b)\bigr)-\varphi\bigl(\alpha(a)\bigr).
No nosso caso a=0 e b=1. Calculemos os pontos finais da curva:
\alpha(0)=(0,0),\qquad \alpha(1)=(1,2).
Avalie o potencial nesses pontos:
\varphi\bigl(\alpha(1)\bigr)=\varphi(1,2)=2^{2}\arctan(1)=4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi,
\varphi\bigl(\alpha(0)\bigr)=\varphi(0,0)=0^{2}\arctan(0)=0.
Portanto a integral vale
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\pi-0=\pi.

Resposta

\pi

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