Dotermine um campo escalar
tal que
c usc-a para calcular
.
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Campo vetorial dado:
. - Curva de integração parametrizada:
, com . Isso significa que o ponto genérico sobre a curva tem coordenadas e . - O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar um campo escalar
tal que (ou seja, um potencial escalar de ); (ii) usar esse potencial para calcular a integral de linha .
Passo 2
Primeiro vamos verificar se
é de fato um campo gradiente (isto é, se existe
com
). Escrevendo as componentes:
Para que
seja gradiente em todo
(domínio aqui é o plano, já que
sempre e
é definida para todo
), uma condição suficiente é a igualdade das derivadas mistas:
Calculemos cada derivada parcial de forma clara.
Passo 3
Calcule
. Como
, ao derivar em relação a
tratamos
como constante:
Agora calcule
. Como
, ao derivar em relação a
tratamos
como constante e usamos
:
As duas derivadas coincidem:
Portanto
é conservativo em
, logo existe potencial
com
.
Passo 4
Para achar
usamos a relação entre as componentes do gradiente e as derivadas parciais:
Uma estratégia conveniente é integrar
em relação a
(tratando
como constante). Ao integrar:
onde
é uma função de
só (constante de integração em relação a
).
Passo 5
Agora determinamos
impondo
. Derivando a expressão obtida para
em relação a
:
Essa derivada deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando os termos iguais, obtemos
. Logo
, uma constante real.
Portanto podemos escolher, sem perda, a constante
e tomar como potencial
Passo 6
Agora usamos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos gradiente: se
e
é uma curva de
até
, então
No nosso caso
e
. Calculemos os pontos finais da curva:
Avalie o potencial nesses pontos:
Portanto a integral vale