Determine um campo escalar
\varphi tal que \vec{F}=\nabla \varphi e use-a para calcular
\int_{\alpha} \vec{F} \cdot d \vec{\alpha}.
(d) \vec{F}(x, y, z)=\left(2 x z+y^{2}\right) \vec{i}+2 x y \vec{j}+\left(x^{2}+3 z^{2}\right) \vec{k}, \alpha: x=t^{2}, y=t+1, z=2 t-1,0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede: encontrar um campo escalar \varphi tal que \vec{F}=\nabla \varphi (isto é, uma função potencial) e usar essa \varphi para calcular \displaystyle \int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{\alpha}.
  • O campo dado é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\bigl(2 x z+y^{2}\bigr)\,\vec{i}+2 x y\,\vec{j}+\bigl(x^{2}+3 z^{2}\bigr)\,\vec{k}.
  • A curva \alpha é dada por parametrização \displaystyle x(t)=t^{2},\; y(t)=t+1,\; z(t)=2t-1 para 0\le t\le 1.
  • Precisamos devolver: uma função \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F} e o valor do integral de linha ao longo de \alpha.

Passo 2

Conceito e boa notícia (por que usar potencial é legal).
  • Definição: o gradiente de uma função escalar \varphi(x,y,z) é
\nabla\varphi=\left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial x},\;\dfrac{\partial \varphi}{\partial y},\;\dfrac{\partial \varphi}{\partial z}\right).
Se \vec{F}=\nabla\varphi, diz-se que \vec{F} é um campo conservativo e \varphi é um potencial.
  • Teorema fundamental das integrais de linha (forma prática): se \vec{F}=\nabla\varphi em um domínio que seja simplesmente conexo, então para qualquer curva suave \alpha que vá de A a B,
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{\alpha}=\varphi(B)-\varphi(A).
Isso é ótimo porque evita calcular o integral direto com componentes e parametrização complicada: basta avaliar \varphi nas extremidades.
  • Antes de achar \varphi, é prudente verificar que \vec{F} é conservativo (uma forma prática: verificar \nabla\times\vec{F}=0 em \mathbb{R}^{3}).

Passo 3

Verificação rápida: calcular \nabla\times\vec{F}.
  • Fórmula para o rotacional:
\nabla\times\vec{F}=\left(\dfrac{\partial F_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial F_{y}}{\partial z},\; \dfrac{\partial F_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial F_{z}}{\partial x},\; \dfrac{\partial F_{y}}{\partial x}-\dfrac{\partial F_{x}}{\partial y}\right).
  • Componentes de \vec{F}: F_{x}=2xz+y^{2},\; F_{y}=2xy,\; F_{z}=x^{2}+3z^{2}.
  • Calcular cada componente do rotacional:
\frac{\partial F_{z}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+3z^{2})=0, \qquad \frac{\partial F_{y}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2xy)=0,
logo primeira componente =0-0=0.
\frac{\partial F_{x}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2xz+y^{2})=2x, \qquad \frac{\partial F_{z}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+3z^{2})=2x,
logo segunda componente =2x-2x=0.
\frac{\partial F_{y}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y, \qquad \frac{\partial F_{x}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xz+y^{2})=2y,
logo terceira componente =2y-2y=0.
  • Conclusão: \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em todo \mathbb{R}^{3}. Como \mathbb{R}^{3} é simplesmente conexo, \vec{F} é conservativo e existe \varphi tal que \vec{F}=\nabla\varphi.

Passo 4

Encontrar \varphi integrando componente a componente (método direto).
  • Se \nabla\varphi=\vec{F}, então
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=2xz+y^{2},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=2xy,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=x^{2}+3z^{2}.
  • Integro \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=2xz+y^{2} em relação a x (tratando y,z como constantes):
\varphi(x,y,z)=\int (2xz+y^{2})\,dx = x^{2}z + x y^{2} + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z (porque integramos em x).
  • Agora uso a condição sobre \partial\varphi/\partial y para determinar g. Calculo \partial\varphi/\partial y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}z + x y^{2} + g(y,z)\bigr)=0 + 2xy + \frac{\partial g}{\partial y}.
Mas sabemos que \partial\varphi/\partial y deve ser 2xy. Portanto
2xy + \frac{\partial g}{\partial y}=2xy \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0.
Isto significa que g não depende de y: g(y,z)=h(z) para alguma função h só de z.

Passo 5

Determinar h(z) usando a componente em z.
  • Agora nossa forma parcial de \varphi é
\varphi(x,y,z)=x^{2}z + x y^{2} + h(z).
  • Calculo \partial\varphi/\partial z:
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=x^{2} + 0 + h'(z)=x^{2}+h'(z).
Mas sabemos que \partial\varphi/\partial z deve ser x^{2}+3z^{2}. Igualando,
x^{2}+h'(z)=x^{2}+3z^{2}\quad\Rightarrow\quad h'(z)=3z^{2}.
  • Integro h'(z) em relação a z:
h(z)=\int 3z^{2}\,dz = z^{3} + C,
onde C é constante real (potencial definido até uma constante).
  • Portanto uma escolha conveniente para o potencial é
\varphi(x,y,z)=x^{2}z + x y^{2} + z^{3} + C.
Podemos tomar C=0 sem perda de generalidade (afeta só a constante).

Passo 6

Aplicar o Teorema Fundamental das integrais de linha e avaliar \varphi nas extremidades da curva \alpha.
  • A curva \alpha começa em t=0 e termina em t=1. Calculo os pontos extremos:
\text{para } t=0:\quad (x,y,z)=(0,\;1,\;-1).
\text{para } t=1:\quad (x,y,z)=(1,\;2,\;1).
  • Avalio \varphi (com C=0) nos extremos.
Para B=(1,2,1):
\varphi(1,2,1)= (1)^{2}\cdot 1 + 1\cdot 2^{2} + 1^{3} = 1 + 4 + 1 = 6.
Para A=(0,1,-1):
\varphi(0,1,-1)= 0^{2}\cdot(-1) + 0\cdot 1^{2} + (-1)^{3} = 0 + 0 -1 = -1.
  • Pelo teorema:
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{\alpha}=\varphi(B)-\varphi(A)=6-(-1)=7.

Resposta

7

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