Determine um campo escalar
tal que
e use-a para calcular
.
(d)
.
(d)
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede: encontrar um campo escalar
tal que (isto é, uma função potencial) e usar essa para calcular . - O campo dado é
- A curva
é dada por parametrização para . - Precisamos devolver: uma função
tal que e o valor do integral de linha ao longo de .
Passo 2
Conceito e boa notícia (por que usar potencial é legal).
- Definição: o gradiente de uma função escalar
é
Se
, diz-se que
é um campo conservativo e
é um potencial.
- Teorema fundamental das integrais de linha (forma prática): se
em um domínio que seja simplesmente conexo, então para qualquer curva suave que vá de a ,
Isso é ótimo porque evita calcular o integral direto com componentes e parametrização complicada: basta avaliar
nas extremidades.
- Antes de achar
, é prudente verificar que é conservativo (uma forma prática: verificar em ).
Passo 3
Verificação rápida: calcular
.
- Fórmula para o rotacional:
- Componentes de
: - Calcular cada componente do rotacional:
logo primeira componente
.
logo segunda componente
.
logo terceira componente
.
- Conclusão:
em todo . Como é simplesmente conexo, é conservativo e existe tal que .
Passo 4
Encontrar
integrando componente a componente (método direto).
- Se
, então
- Integro
em relação a (tratando como constantes):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
(porque integramos em
).
- Agora uso a condição sobre
para determinar . Calculo a partir da expressão encontrada:
Mas sabemos que
deve ser
. Portanto
Isto significa que
não depende de
:
para alguma função
só de
.
Passo 5
Determinar
usando a componente em
.
- Agora nossa forma parcial de
é
- Calculo
:
Mas sabemos que
deve ser
. Igualando,
- Integro
em relação a :
onde
é constante real (potencial definido até uma constante).
- Portanto uma escolha conveniente para o potencial é
Podemos tomar
sem perda de generalidade (afeta só a constante).
Passo 6
Aplicar o Teorema Fundamental das integrais de linha e avaliar
nas extremidades da curva
.
- A curva
começa em e termina em . Calculo os pontos extremos:
- Avalio
(com ) nos extremos.
Para
:
Para
:
- Pelo teorema: