Uma droga é administrada a um paciente todos os dias no mesmo horário. Suponha que a concentração da droga seja
(medida em mg/mL) depois da injeção no enésimo dia. Antes da injeção do próximo dia, apenas
da droga permanece na corrente sanguínea e a dose diária causa um aumento de
na concentração.
Determine a concentração logo após a terceira injeção.
Determine a concentração logo após a terceira injeção.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma droga que é administrada todo dia no mesmo horário a um paciente. A concentração dessa droga no sangue depois da aplicação no dia
é
(medida em mg/mL). Antes da próxima injeção, só fica 30% da droga no sangue, e a dose diária adiciona mais 0,2 mg/mL na concentração. Nosso objetivo aqui é descobrir qual vai ser a concentração logo após a terceira injeção, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir como a concentração muda a cada dia. Sabemos que a cada dia a concentração restante é 30% da do dia anterior e que a nova dose adiciona 0,2 mg/mL. Então, podemos escrever isso como uma fórmula:
Aqui,
é a concentração no dia seguinte,
é a concentração do dia atual, e 0,2 mg/mL é a dose adicionada.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro dia. Assumindo que no dia 0, antes de qualquer injeção, a concentração é 0 mg/mL (ou seja,
).
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo dia. Usando o valor de
que achamos:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a concentração no terceiro dia usando
:
Resposta
A concentração da droga logo após a terceira injeção é de aproximadamente
.