Uma droga é administrada a um paciente todos os dias no mesmo horário. Suponha que a concentração da droga seja Cn (medida em mg/mL) depois da injeção no enésimo dia. Antes da injeção do próximo dia, apenas 30 % da droga permanece na corrente sanguínea e a dose diária causa um aumento de 0,2 mg / mL na concentração.
Determine a concentração logo após a terceira injeção.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma droga que é administrada todo dia no mesmo horário a um paciente. A concentração dessa droga no sangue depois da aplicação no dia n é Cn (medida em mg/mL). Antes da próxima injeção, só fica 30% da droga no sangue, e a dose diária adiciona mais 0,2 mg/mL na concentração. Nosso objetivo aqui é descobrir qual vai ser a concentração logo após a terceira injeção, ou seja, C3.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como a concentração muda a cada dia. Sabemos que a cada dia a concentração restante é 30% da do dia anterior e que a nova dose adiciona 0,2 mg/mL. Então, podemos escrever isso como uma fórmula:
Cn+1 = 0,3 cdot Cn + 0,2
Aqui, Cn+1 é a concentração no dia seguinte, Cn é a concentração do dia atual, e 0,2 mg/mL é a dose adicionada.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro dia. Assumindo que no dia 0, antes de qualquer injeção, a concentração é 0 mg/mL (ou seja, C0 = 0).
Aplicando a fórmula:
C1 = 0,3 cdot C0 + 0,2 = 0,3 cdot 0 + 0,2 = 0,2 , mg/mL

Passo 4

Agora, vamos para o segundo dia. Usando o valor de C1 que achamos:
C2 = 0,3 cdot C1 + 0,2 = 0,3 cdot 0,2 + 0,2 = 0,06 + 0,2 = 0,26 , mg/mL

Passo 5

Por fim, vamos calcular a concentração no terceiro dia usando C2:
C3 = 0,3 cdot C2 + 0,2 = 0,3 cdot 0,26 + 0,2 = 0,078 + 0,2 = 0,278 , mg/mL

Resposta

A concentração da droga logo após a terceira injeção é de aproximadamente 0,278 , mg/mL.

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