Seja
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(a) Encontre os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
(b)
tem pontos extremos?
©
tem assíntotas?
(d) Esboce o gráfico de
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(a) Encontre os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
(b)
©
(d) Esboce o gráfico de
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada nesse exercício que você me mandou. A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{2} - x}{1 + 3x^{2}} $ e precisamos resolver quatro partes:
a) Descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo.
b) Verificar se a função tem pontos extremos (máximos ou mínimos).
c) Identificar se a função tem assíntotas.
d) Fazer um esboço do gráfico dessa função.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de derivadas para analisar o comportamento da função, conhecimentos sobre limites para encontrar assíntotas, e um pouco de análise para desenhar o gráfico.
Passo 2
Parte a: Encontrar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou diminuindo, a gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) $.
A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo lá; se for negativa, está decrescendo.
Vamos derivar $ f(x) = \frac{x^{2} - x}{1 + 3x^{2}} $.
Usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:
Agora, precisamos ver onde $ f’(x) > 0 $ (crescente) e $ f’(x) < 0 $ (decrescente).
Vamos resolver a inequação:
Primeiro, achamos as raízes da equação quadrática $ 3x^{2} + 2x -1 = 0 $:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
- $ x < -1 $
- $ -1 < x < \frac{1}{3} $
- $ x > \frac{1}{3} $
Vamos testar um valor em cada intervalo para ver o sinal de $ f’(x) $:
- Para $ x = -2 $:
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = 1 $:
Então, a derivada é positiva nos intervalos $ x < -1 $ e $ x > \frac{1}{3} $, e negativa em $ -1 < x < \frac{1}{3} $.
Passo 3
Parte b: A função $ f $ tem pontos extremos?
Pontos extremos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe, e há uma mudança na concavidade da função.
Já encontramos que $ f’(x) = 0 $ quando $ x = -1 $ e $ x = \frac{1}{3} $.
Vamos verificar se nesses pontos há realmente um máximo ou mínimo.
- Em $ x = -1 $:
Antes de $ x = -1 $, a derivada é positiva e depois é negativa. Isso significa que a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo em $ x = -1 $.
- Em $ x = \frac{1}{3} $:
Antes de $ x = \frac{1}{3} $, a derivada é negativa e depois é positiva. Isso indica que a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo em $ x = \frac{1}{3} $.
Então, a função $ f $ tem um ponto máximo em $ x = -1 $ e um ponto mínimo em $ x = \frac{1}{3} $.
Passo 4
Parte c: A função $ f $ tem assíntotas?
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Existem dois tipos principais: horizontais e verticais.
Vamos verificar cada um:
- Assíntotas Verticais:
Ocorram quando o denominador da função é zero e o numerador não é zero no mesmo ponto.
Nossa função é $ f(x) = \frac{x^{2} - x}{1 + 3x^{2}} $.
O denominador $ 1 + 3x^{2} $ nunca é zero porque $ 3x^{2} $ é sempre não negativo, então $ 1 + 3x^{2} \geq 1 $.
Portanto, não há assíntotas verticais.
- Assíntotas Horizontais:
São determinadas pelo limite da função quando $ x $ tende para $ +\infty $ ou $ -\infty $.
Vamos calcular:
Então, a função se aproxima de $ y = \frac{1}{3} $ quando $ x $ vai para infinito positivo ou negativo.
Portanto, existe uma assíntota horizontal em $ y = \frac{1}{3} $.
Passo 5
Parte d: Esboçar o gráfico de $ f $.
Vamos reunir todas as informações que temos:
-
Assíntota Horizontal: $ y = \frac{1}{3} $.
-
Pontos Extremos:
- Máximo em $ x = -1 $.
- Mínimo em $ x = \frac{1}{3} $.
-
Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
- Crescendo para $ x < -1 $ e $ x > \frac{1}{3} $.
- Decrescendo para $ -1 < x < \frac{1}{3} $.
-
Comportamento Geral:
- Sem assíntotas verticais.
- A função se aproxima de $ y = \frac{1}{3} $ nas extremidades.
Com base nisso, podemos desenhar o gráfico:
-
Para $ x < -1 $: A função está crescendo e se aproxima da assíntota horizontal $ y = \frac{1}{3} $.
-
Em $ x = -1 $: Há um ponto de máximo. Calculando $ f(-1) = \frac{1 +1}{1 +3} = \frac{2}{4} = 0.5 $.
-
Entre $ -1 $ e $ \frac{1}{3} $: A função está decrescendo até chegar ao ponto mínimo.
-
Em $ x = \frac{1}{3} $: Há um ponto de mínimo. Calculando $ f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{2} - \frac{1}{3}}{1 + 3\left(\frac{1}{3}\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{9} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-\frac{2}{9}}{\frac{4}{3}} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6} $.
-
Para $ x > \frac{1}{3} $: A função está crescendo novamente, se aproximando da assíntota horizontal.
Com esses pontos e informações, você consegue esboçar o gráfico, mostrando a assíntota horizontal, os pontos máximos e mínimos, e o comportamento crescente e decrescente da função.
Resposta
a) A função $ f(x) $ está crescente nos intervalos $ x < -1 $ e $ x > \frac{1}{3} $, e está decrescente em $ -1 < x < \frac{1}{3} $.
b) Sim, $ f $ tem um ponto máximo em $ x = -1 $ e um ponto mínimo em $ x = \frac{1}{3} $.
c) A função $ f $ possui uma assíntota horizontal em $ y = \frac{1}{3} $.
d) O gráfico de $ f(x) $ apresenta uma assíntota horizontal em $ y = \frac{1}{3} $, com pontos de máximo em $ (-1, 0.5) $ e mínimo em $ \left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{6}\right) $, aumentando para $ x < -1 $ e $ x > \frac{1}{3} $, e decrescendo entre $ -1 $ e $ \frac{1}{3} $.