Usando integrais duplas,
Calcule a área do conjunto
Calcule a área do conjunto
Passo 1
O enunciado pede pra usar integrais duplas pra encontrar a área da região D={ (x,y) : x²+y² ≤ 1 }. O conteúdo é cálculo de área via integral dupla, e a gente vai precisar usar coordenadas polares pra tirar proveito da simetria circular.
Passo 2
A área de D é dada por
. Aqui
é o elemento de área em coordenadas cartesianas, mas a definição geral é que somamos infinitesimais de área sobre toda D.
Como D é um disco de raio 1, faz sentido usar coordenadas polares. Fazemos a mudança
Como D é um disco de raio 1, faz sentido usar coordenadas polares. Fazemos a mudança
Os limites ficam:
varia de 0 até 1 e
varia de 0 até
.
Passo 3
Agora montamos e calculamos a integral:
Primeiro integramos em
:
Depois em
:
Passo 4
Portanto, a área do disco unitário é
.