Usando integrais duplas,
Calcule a área do conjunto (x, y): x^2+y^2 <= 1

Passo 1

O enunciado pede pra usar integrais duplas pra encontrar a área da região D={ (x,y) : x²+y² ≤ 1 }. O conteúdo é cálculo de área via integral dupla, e a gente vai precisar usar coordenadas polares pra tirar proveito da simetria circular.

Passo 2

A área de D é dada por A=integral duplaD dA. Aqui dA é o elemento de área em coordenadas cartesianas, mas a definição geral é que somamos infinitesimais de área sobre toda D.
Como D é um disco de raio 1, faz sentido usar coordenadas polares. Fazemos a mudança
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Os limites ficam: r varia de 0 até 1 e theta varia de 0 até 2pi.

Passo 3

Agora montamos e calculamos a integral:
A = integral0^2pi integral0^1 r,dr,dtheta
Primeiro integramos em r:
integral0^1 r,dr = tfrac12
Depois em theta:
integral0^2pi tfrac12,dtheta = tfrac12 cdot 2pi = pi

Passo 4

Portanto, a área do disco unitário é pi.

Resposta

pi

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