Uma droga é administrada a um paciente todos os dias no mesmo horário. Suponha que a concentração da droga seja Cn (medida em mg/mL) depois da injeção no enésimo dia. Antes da injeção do próximo dia, apenas 30 % da droga permanece na corrente sanguínea e a dose diária causa um aumento de 0,2 mg / mL na concentração.
Qual é a concentração limite?

Passo 1

O exercício descreve uma sequência recursiva que modela a concentração diária de uma droga. Após a n-ésima injeção a concentração é Cn; antes da próxima injeção resta apenas 30% de Cn e a dose diária adiciona 0,2 mg/mL. Queremos encontrar o valor limite dessa sequência. Para isso vamos usar teoria de sequências recursivas lineares de 1º grau e pontos fixos.

Passo 2

A relação de recorrência dada pelo enunciado é
Cn+1 = 0,3,Cn + 0,2
Reconhecemos que essa é uma sequência do tipo Cn+1=a,Cn+b, com a=0,3 e b=0,2. Como |a|<1, ela converge para um ponto fixo.

Passo 3

O valor limite L de uma sequência desse tipo satisfaz
L = a,L + b
Substituindo a e b temos
L = 0,3L + 0,2
(1 - 0,3),L = 0,2
0,7,L = 0,2
L = 0,20,7 = 27 approx 0,2857

Resposta

A concentração limite é tfrac27 mg/mL, aproximadamente 0,2857 mg/mL.

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