Seja f(x, y)=varphi(x) psi(y), sendo varphi e psi funções de uma variável de classe C^2 (duas vezes deriváveis com derivadas contínuas).
Do curso de funções de uma variável, sabemos que, se h(x) é de classe C^2 e x^* é tal que h^prime(x^*)=0 e h^prime prime(x^*)>0, então x^* é um ponto de mínimo local de h. Suponha que x^* e y^* são tais que lvarphi^prime(x^*)=0 e varphi^prime prime(x^*)>0 psi^prime(x^*)=0 e psi^prime prime(x^*)>0. Mostre que:
i. Se varphi(x^*)>0 e psi(y^*)>0, então (x^*, y^*) é ponto de mínimo local de f.
ii. Se varphi(x^*)>0 e psi(y^*)<0, então (x^*, y^*) é ponto de cela de f. Verifique esse fato para f(x, y)=(x^2+1)(y^2-1), isto é, encontre direções u=(u1, u2) e v=(v1, v2) tais que t^*=0 maximiza f(t u1, t u2) e minimiza f(t v1, t v2).
Mostre que, se x^* minimiza varphi e y^* minimiza psi, então (x^*, y^*) minimiza f.

Passo 1

O enunciado define f(x,y)=φ(x)ψ(y) com φ,ψ de classe C² e afirma que x* e y* são pontos críticos (φ’(x*)=0, ψ’(y*)=0) onde φ’’(x*)>0 e ψ’’(y*)>0. Vamos usar derivadas parciais, Hessiana e o teste da segunda derivada para ver quando (x*,y*) é mínimo ou sela, e depois tratar o exemplo e o caso global.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e identificamos o ponto crítico. Temos
f_x(x,y)=φ’(x)ψ(y)
f_y(x,y)=φ(x)ψ’(y)
No ponto (x*,y*) satisfazendo φ’(x*)=0 e ψ’(y*)=0, segue que f_x(x*,y*)=0 e f_y(x*,y*)=0, ou seja, (x*,y*) é ponto crítico.

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana de f:
f_{xx}(x,y)=φ’’(x)ψ(y)
f_{xy}(x,y)=φ’(x)ψ’(y)
f_{yy}(x,y)=φ(x)ψ’’(y)
No ponto (x*,y*) isso vira
f_{xx}(x*,y*)=φ’’(x*)ψ(y*), f_{xy}(x*,y*)=0, f_{yy}(x*,y*)=φ(x*)ψ’’(y*).
O determinante da Hessiana é D=f_{xx}·f_{yy}−(f_{xy})²=φ’’(x*)ψ(y*)·φ(x*)ψ’’(y*).

Passo 4

Para o teste de segunda derivada em duas variáveis, se D>0 e f_{xx}>0 temos mínimo local; se D<0 temos ponto de sela.
No caso i) φ(x*)>0 e ψ(y*)>0 implicam φ’’(x*)>0,ψ’’(y*)>0, logo D>0 e f_{xx}(x*,y*)=φ’’(x*)ψ(y*)>0. Concluímos que (x*,y*) é mínimo local de f.
No caso ii) φ(x*)>0 e ψ(y*)<0 fazem D<0 (produto de sinais opostas), caracterizando ponto de sela.

Passo 5

Para verificar isso em f(x,y)=(x²+1)(y²−1), tomamos φ(x)=x²+1 e ψ(y)=y²−1. Assim x*=0 e y*=0 são pontos críticos, com φ’’=2>0 e ψ’’=2>0, mas φ(0)=1>0 e ψ(0)=−1<0, configurando o caso de sela.

Passo 6

Escolhemos direções u=(1,0) e v=(0,1). Na reta t↦tu temos
f(t,0)=(t²+1)(0²−1)=−(t²+1).
Dessa forma g_u(t)=f(t,0) tem g_u’(t)=−2t e g_u’’(t)=−2<0 em t=0, logo máximo local em t=0.
Na reta t↦tv temos
f(0,t)=(0²+1)(t²−1)=t²−1.
Aqui g_v’(t)=2t e g_v’’(t)=2>0 em t=0, logo mínimo local em t=0.

Passo 7

Finalmente, para o caso global, se x* minimiza φ e y* minimiza ψ então para todo x vale φ(x)≥φ(x*) e para todo y vale ψ(y)≥ψ(y*). Então escrevemos
f(x,y)−f(x*,y*)=φ(x)ψ(y)−φ(x*)ψ(y*) = [φ(x)−φ(x*)][ψ(y)−ψ(y*)] + φ(x*)[ψ(y)−ψ(y*)] + ψ(y*)[φ(x)−φ(x*)].
Cada um dos três termos é ≥0 pelo fato de φ(x)≥φ(x*) e ψ(y)≥ψ(y*), o que implica f(x,y)≥f(x*,y*) para todo (x,y). Portanto (x*,y*) é mínimo global de f.

Resposta

i) Mínimo local quando φ(x*)>0 e ψ(y*)>0. ii) Sela quando φ(x*)>0 e ψ(y*)<0; por exemplo em f(x,y)=(x²+1)(y²−1) escolhemos u=(1,0) (max local em t=0) e v=(0,1) (min local em t=0). Se x* minimiza φ e y* minimiza ψ então (x*,y*) minimiza f globalmente.

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