Seja
, sendo
e
funções de uma variável de classe
(duas vezes deriváveis com derivadas contínuas).
Do curso de funções de uma variável, sabemos que, se
é de classe
e
é tal que
e
, então
é um ponto de mínimo local de
. Suponha que
e
são tais que
. Mostre que:
i. Se
e
, então
é ponto de mínimo local de
.
ii. Se
e
, então
é ponto de cela de
. Verifique esse fato para
, isto é, encontre direções
e
tais que
maximiza
e minimiza
.
Mostre que, se
minimiza
e
minimiza
, então
minimiza
.
Do curso de funções de uma variável, sabemos que, se
i. Se
ii. Se
Mostre que, se
Passo 1
O enunciado define f(x,y)=φ(x)ψ(y) com φ,ψ de classe C² e afirma que x* e y* são pontos críticos (φ’(x*)=0, ψ’(y*)=0) onde φ’’(x*)>0 e ψ’’(y*)>0. Vamos usar derivadas parciais, Hessiana e o teste da segunda derivada para ver quando (x*,y*) é mínimo ou sela, e depois tratar o exemplo e o caso global.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e identificamos o ponto crítico. Temos
f_x(x,y)=φ’(x)ψ(y)
f_y(x,y)=φ(x)ψ’(y)
No ponto (x*,y*) satisfazendo φ’(x*)=0 e ψ’(y*)=0, segue que f_x(x*,y*)=0 e f_y(x*,y*)=0, ou seja, (x*,y*) é ponto crítico.
f_x(x,y)=φ’(x)ψ(y)
f_y(x,y)=φ(x)ψ’(y)
No ponto (x*,y*) satisfazendo φ’(x*)=0 e ψ’(y*)=0, segue que f_x(x*,y*)=0 e f_y(x*,y*)=0, ou seja, (x*,y*) é ponto crítico.
Passo 3
Agora montamos a matriz Hessiana de f:
f_{xx}(x,y)=φ’’(x)ψ(y)
f_{xy}(x,y)=φ’(x)ψ’(y)
f_{yy}(x,y)=φ(x)ψ’’(y)
No ponto (x*,y*) isso vira
f_{xx}(x*,y*)=φ’’(x*)ψ(y*), f_{xy}(x*,y*)=0, f_{yy}(x*,y*)=φ(x*)ψ’’(y*).
O determinante da Hessiana é D=f_{xx}·f_{yy}−(f_{xy})²=φ’’(x*)ψ(y*)·φ(x*)ψ’’(y*).
f_{xx}(x,y)=φ’’(x)ψ(y)
f_{xy}(x,y)=φ’(x)ψ’(y)
f_{yy}(x,y)=φ(x)ψ’’(y)
No ponto (x*,y*) isso vira
f_{xx}(x*,y*)=φ’’(x*)ψ(y*), f_{xy}(x*,y*)=0, f_{yy}(x*,y*)=φ(x*)ψ’’(y*).
O determinante da Hessiana é D=f_{xx}·f_{yy}−(f_{xy})²=φ’’(x*)ψ(y*)·φ(x*)ψ’’(y*).
Passo 4
Para o teste de segunda derivada em duas variáveis, se D>0 e f_{xx}>0 temos mínimo local; se D<0 temos ponto de sela.
No caso i) φ(x*)>0 e ψ(y*)>0 implicam φ’’(x*)>0,ψ’’(y*)>0, logo D>0 e f_{xx}(x*,y*)=φ’’(x*)ψ(y*)>0. Concluímos que (x*,y*) é mínimo local de f.
No caso ii) φ(x*)>0 e ψ(y*)<0 fazem D<0 (produto de sinais opostas), caracterizando ponto de sela.
No caso i) φ(x*)>0 e ψ(y*)>0 implicam φ’’(x*)>0,ψ’’(y*)>0, logo D>0 e f_{xx}(x*,y*)=φ’’(x*)ψ(y*)>0. Concluímos que (x*,y*) é mínimo local de f.
No caso ii) φ(x*)>0 e ψ(y*)<0 fazem D<0 (produto de sinais opostas), caracterizando ponto de sela.
Passo 5
Para verificar isso em f(x,y)=(x²+1)(y²−1), tomamos φ(x)=x²+1 e ψ(y)=y²−1. Assim x*=0 e y*=0 são pontos críticos, com φ’’=2>0 e ψ’’=2>0, mas φ(0)=1>0 e ψ(0)=−1<0, configurando o caso de sela.
Passo 6
Escolhemos direções u=(1,0) e v=(0,1). Na reta t↦tu temos
f(t,0)=(t²+1)(0²−1)=−(t²+1).
Dessa forma g_u(t)=f(t,0) tem g_u’(t)=−2t e g_u’’(t)=−2<0 em t=0, logo máximo local em t=0.
Na reta t↦tv temos
f(0,t)=(0²+1)(t²−1)=t²−1.
Aqui g_v’(t)=2t e g_v’’(t)=2>0 em t=0, logo mínimo local em t=0.
f(t,0)=(t²+1)(0²−1)=−(t²+1).
Dessa forma g_u(t)=f(t,0) tem g_u’(t)=−2t e g_u’’(t)=−2<0 em t=0, logo máximo local em t=0.
Na reta t↦tv temos
f(0,t)=(0²+1)(t²−1)=t²−1.
Aqui g_v’(t)=2t e g_v’’(t)=2>0 em t=0, logo mínimo local em t=0.
Passo 7
Finalmente, para o caso global, se x* minimiza φ e y* minimiza ψ então para todo x vale φ(x)≥φ(x*) e para todo y vale ψ(y)≥ψ(y*). Então escrevemos
f(x,y)−f(x*,y*)=φ(x)ψ(y)−φ(x*)ψ(y*) = [φ(x)−φ(x*)][ψ(y)−ψ(y*)] + φ(x*)[ψ(y)−ψ(y*)] + ψ(y*)[φ(x)−φ(x*)].
Cada um dos três termos é ≥0 pelo fato de φ(x)≥φ(x*) e ψ(y)≥ψ(y*), o que implica f(x,y)≥f(x*,y*) para todo (x,y). Portanto (x*,y*) é mínimo global de f.
f(x,y)−f(x*,y*)=φ(x)ψ(y)−φ(x*)ψ(y*) = [φ(x)−φ(x*)][ψ(y)−ψ(y*)] + φ(x*)[ψ(y)−ψ(y*)] + ψ(y*)[φ(x)−φ(x*)].
Cada um dos três termos é ≥0 pelo fato de φ(x)≥φ(x*) e ψ(y)≥ψ(y*), o que implica f(x,y)≥f(x*,y*) para todo (x,y). Portanto (x*,y*) é mínimo global de f.
Resposta
i) Mínimo local quando φ(x*)>0 e ψ(y*)>0. ii) Sela quando φ(x*)>0 e ψ(y*)<0; por exemplo em f(x,y)=(x²+1)(y²−1) escolhemos u=(1,0) (max local em t=0) e v=(0,1) (min local em t=0). Se x* minimiza φ e y* minimiza ψ então (x*,y*) minimiza f globalmente.