Seja f(x, y)=varphi(x) psi(y), sendo varphi e psi funções de uma variável de classe C^2 (duas vezes deriváveis com derivadas contínuas).
Mostre diretamente (sem usar derivadas) que, se x^* minimiza varphi e y^* minimiza psi e varphi(x^*)>0 e psi(y^*)>0, então (x^*, y^*) minimiza f.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função , com de classe . Sabemos que minimiza e minimiza e que e . Queremos mostrar que minimiza sem usar derivadas.

Passo 2

Como minimiza , para todo vale . Analogamente, como minimiza , para todo vale .

Passo 3

Analisamos a diferença
f(x,y)-f(x^*,y^*)=varphi(x)psi(y)-varphi(x^*)psi(y^*)
Reescrevemos usando fatoração:
f(x,y)-f(x^*,y^*)=(varphi(x)-varphi(x^*))psi(y)+varphi(x^*)(psi(y)-psi(y^*))
Pelo passo anterior temos e , e como e , cada termo é não negativo, logo a soma também é não negativa.

Passo 4

Concluímos que para todo vale . Isso mostra que é ponto de mínimo global de .

Resposta

O ponto é ponto de mínimo global de , com valor mínimo .

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