Seja
, sendo
e
funções de uma variável de classe
(duas vezes deriváveis com derivadas contínuas).
Mostre diretamente (sem usar derivadas) que, se
minimiza
e
minimiza
e
e
, então
minimiza
.
Mostre diretamente (sem usar derivadas) que, se
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
, com
de classe
. Sabemos que
minimiza
e
minimiza
e que
e
. Queremos mostrar que
minimiza
sem usar derivadas.
Passo 2
Como
minimiza
, para todo
vale
. Analogamente, como
minimiza
, para todo
vale
.
Passo 3
Analisamos a diferença
Reescrevemos usando fatoração:
Pelo passo anterior temos
e
, e como
e
, cada termo é não negativo, logo a soma também é não negativa.
Passo 4
Concluímos que para todo
vale
. Isso mostra que
é ponto de mínimo global de
.
Resposta
O ponto
é ponto de mínimo global de
, com valor mínimo
.