1.Um drone faz uma manobra de uma curva completa, executando um movimento circular uniforme, com aceleração centrípeta de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e raio de 3 m . Ache o tempo de voo nessa curva.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa só:
  • Aceleração centrípeta: \,a_c = 5\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Raio da curva: \,r = 3\\ \mathrm{m}.
  • A manobra é “uma curva completa”, ou seja, exatamente uma revolução (um volta inteira).
    O que se pede: o tempo de voo que o drone leva para completar essa volta (tempo para uma volta completa).

Passo 2

Conceito chave e fórmula que relaciona aceleração centrípeta e velocidade: para um movimento circular uniforme vale
a_c = \frac{v^2}{r},
onde:
  • \,a_c é a aceleração centrípeta (módulo), medida em \mathrm{m/s^2};
  • \,v é a velocidade linear do objeto na trajetória circular, em \mathrm{m/s};
  • \,r é o raio da curva, em \mathrm{m}.
Essa fórmula diz que, para manter o objeto descrevendo um círculo de raio \,r com velocidade \,v, é necessária uma aceleração dirigida ao centro com intensidade \,v^2/r. Agora isolamos \,v:
v = \sqrt{a_c\,r}.
Substituindo os valores dados:
v = \sqrt{5\cdot 3} = \sqrt{15}.
Em valor aproximado:
\sqrt{15}\approx 3,87298\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora precisamos do tempo para uma volta completa. A distância percorrida em uma volta é a circunferência:
\text{circunferência} = 2\pi r.ê
Se a velocidade é constante \,v, o tempo para percorrer essa circunferência (o período da volta) é
T = \frac{2\pi r}{v}.
Aqui:
  • \,T é o tempo de uma volta (em segundos);
  • \,2\pi r é o comprimento da volta (em metros);
  • \,v é a velocidade (em \mathrm{m/s}).

Passo 4

Substituindo \,v=\sqrt{a_c r} na expressão de \,T dá uma forma mais direta:
T = \frac{2\pi r}{\sqrt{a_c r}}.
Faço a simplificação algébrica passo a passo:
T = 2\pi \,\frac{r}{\sqrt{a_c r}} = 2\pi \,\frac{\sqrt{r}\sqrt{r}}{\sqrt{a_c}\sqrt{r}} = 2\pi \,\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{a_c}} = 2\pi\sqrt{\frac{r}{a_c}}.
Portanto a fórmula prática é
T = 2\pi\sqrt{\frac{r}{a_c}}.
Isso é útil porque já liga diretamente o tempo com o raio e a aceleração centrípeta.

Passo 5

Agora calculamos numericamente com \,r=3 e \,a_c=5:
\frac{r}{a_c}=\frac{3}{5}=0,6,
\sqrt{\frac{r}{a_c}}=\sqrt{0,6}\approx 0,7745967,
T = 2\pi\cdot 0,7745967 \approx 4,866\\ \mathrm{s}.
Interpretação rápida: o drone precisa de cerca de 4,87 segundos para completar a volta mantendo a aceleração centrípeta dada.

Resposta

T \approx 4,866\\ \mathrm{s}

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