Um satélite se move em órbita circular a 640 km acima da superfície da Terra, com um período de 115,0 \mathrm{~min} e a força resultante do movimento se deve à força peso + impulsão própria. A) Qual a velocidade escalar e B) o módulo de aceleração centrípeta do satélite? Considere o raio da Terra aproximadamente 6,37 \times 10^{6} \mathrm{~m}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Perguntas do enunciado:
    • A) Qual a velocidade escalar do satélite?
    • B) Qual o módulo da aceleração centrípeta do satélite?
  • Informações fornecidas:
    • Altitude do satélite acima da superfície: h = 640\\ \mathrm{km}.
    • Período orbital: T = 115{,}0\\ \mathrm{min}.
    • Raio da Terra: R_{\oplus} = 6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
A seguir vamos converter unidades, definir o raio da órbita e usar as fórmulas de movimento circular uniforme para obter a velocidade escalar e a aceleração centrípeta.

Passo 2

Conversão de unidades e cálculo do raio da órbita:
  • Converter altitude para metros:
    h = 640\\ \mathrm{km} = 640\times10^{3}\\ \mathrm{m} = 6{,}40\times10^{5}\\ \mathrm{m}.
  • Converter período para segundos:
    T = 115{,}0\\ \mathrm{min}=115{,}0\cdot60\\ \mathrm{s}=6900\\ \mathrm{s}.
  • Raio da órbita (distância do centro da Terra ao satélite):
    r = R_{\oplus}+h = 6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m} + 6{,}40\times10^{5}\\ \mathrm{m} = 7{,}01\times10^{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Fórmula para a velocidade escalar em órbita circular e explicação:
  • Em movimento circular uniforme a velocidade escalar v é dada pelo comprimento da circunferência dividido pelo período: v=\frac{2\pi r}{T}.Aqui:
    • r é o raio da órbita (metros),
    • T é o período (segundos),
    • 2\pi r é o comprimento da circunferência (metros),
    • Então v tem unidade \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo numérico da velocidade, passo a passo:
  • Substituindo r e T na fórmula:
    v=\frac{2\pi\cdot(7{,}01\times10^{6})}{6900}.
  • Calcular o numerador:
    2\pi\cdot7{,}01\times10^{6}\approx 44\,045\,129{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Dividindo pelo período:
    v \approx \frac{44\,045\,129{,}0}{6900}\\ \mathrm{m/s}\approx 6\,383{,}35\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando com precisão adequada (dados do enunciado têm pelo menos 3 algarismos significativos), podemos usar:
    v \approx 6{,}383\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}\quad\text{(ou)}\quad v \approx 6\,383\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Fórmula para a aceleração centrípeta e explicação:
  • A aceleração centrípeta (módulo) para movimento circular uniforme é
    a_{c}=\frac{v^{2}}{r}.
    Aqui:
    • v é a velocidade escalar (m/s),
    • r é o raio da órbita (m),
    • a_{c} tem unidade \mathrm{m/s^{2}}.
  • Outra forma equivalente (substituindo v=\dfrac{2\pi r}{T}) é
    a_{c}=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}.
    Esta expressão é prática porque evita elevar v ao quadrado separadamente.

Passo 6

Cálculo numérico da aceleração centrípeta (usando a forma com T), passo a passo:
  • Usando \displaystyle a_{c}=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}} e os valores já calculados:
    a_{c}=\frac{4\pi^{2}\cdot(7{,}01\times10^{6})}{6900^{2}}.
  • Calcular 4\pi^{2}r:
    4\pi^{2}\cdot7{,}01\times10^{6}\approx 2{,}767437\times10^{8}.
  • Calcular T^{2}:
    T^{2}=6900^{2}=47\,610\,000.
  • Dividir:
    a_{c}\approx\frac{2{,}767437\times10^{8}}{47\,610\,000}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 5{,}813\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Podemos também verificar rapidamente usando a_{c}=v^{2}/r:
    a_{c}\approx\frac{(6\,383{,}35)^{2}}{7{,}01\times10^{6}}\approx 5{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}},
    consistente com o resultado anterior.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo
  • Resultado: a velocidade é algumas ordens de magnitude de quilômetros por segundo e a aceleração centrípeta é menor que a gravidade ao nível do solo ( g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}), o que faz sentido porque o satélite está em órbita a uma altitude onde a gravidade ainda é significativa mas um pouco menor que na superfície.
  • Boa! Você conseguiu acompanhar as fórmulas e as conversões — esse é o jeito que o exercício costuma cair na prova: converte-se as unidades, escreve a fórmula certa e calcula.

Resposta

v \approx 6{,}383\\ \mathrm{m/s}
a_{c} \approx 5{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}

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