Um drone de mapeamento está programado para voar em linha reta, passando por dois pontos de referência distintos:
Ponto A:
Ponto B:
Determine a equação geral da reta e verifique se o ponto
pertence à trajetória do drone.
Ponto A:
Ponto B:
Determine a equação geral da reta e verifique se o ponto
Passo 1
O enunciado dá dois pontos por onde o drone deve passar e pede duas coisas:
- Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos
e . - Verificar se o ponto
pertence a essa reta.
Pontos fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma coisa prática: uma reta no plano pode ser descrita por sua inclinação (ou coeficiente angular)
. A fórmula para o coeficiente angular entre dois pontos
e
é
Aqui
diz quanto a ordenada (o
) muda quando a abscissa (o
) muda de uma unidade. Essa fórmula vem direto da definição de “declive” de uma reta: razão entre variação em
e variação em
.
Passo 3
Calcular o coeficiente angular entre
e
usando
e
:
Interpretação rápida: para cada aumento de
em
ao longo da reta,
diminui
. Boa — já temos o declive.
Passo 4
Agora usamos a forma ponto-declive da reta. Se uma reta tem declive
e passa por um ponto
, então a equação é
Escolho o ponto
(poderia usar
, dá no mesmo). Substituindo:
Simplificando passo a passo:
Passando tudo para um lado para obter a forma geral
:
Aqui
,
e
. Essa é a equação geral procurada — números inteiros e bem limpos (ótimo pra prova).
Passo 5
Explicando por que essa transformação funciona, rapidinho: ao expandir
obtém-se
. Ao somar
em ambos os lados ou reorganizar termos, isolamos tudo no lado esquerdo e obtemos a forma linear padrão. A forma
é conveniente para testes de pertencimento (basta substituir as coordenadas e ver se dá zero).
Passo 6
Verificar se
pertence à reta substituindo na equação geral
. Substituição passo a passo:
Calculemos em etapas:
Como a substituição dá
, a igualdade da equação é satisfeita. Isso significa que o ponto
pertence à reta — ou seja, está exatamente na trajetória do drone.
Resposta
Sim:
pertence à reta.