Um drone de mapeamento está programado para voar em linha reta, passando por dois pontos de referência distintos:
Ponto A: (3,-1)
Ponto B: (-2,9)
Determine a equação geral da reta e verifique se o ponto \mathrm{P}(-7,19) pertence à trajetória do drone.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos por onde o drone deve passar e pede duas coisas:
  • Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B.
  • Verificar se o ponto \mathrm{P} pertence a essa reta.
Pontos fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • A=(3,-1)
  • B=(-2,9)
  • \mathrm{P}=(-7,19)

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma coisa prática: uma reta no plano pode ser descrita por sua inclinação (ou coeficiente angular) m. A fórmula para o coeficiente angular entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui m diz quanto a ordenada (o y) muda quando a abscissa (o x) muda de uma unidade. Essa fórmula vem direto da definição de “declive” de uma reta: razão entre variação em y e variação em x.

Passo 3

Calcular o coeficiente angular entre A e B usando A=(3,-1) e B=(-2,9):
m=\frac{9-(-1)}{-2-3}=\frac{10}{-5}=-2.
Interpretação rápida: para cada aumento de 1 em x ao longo da reta, y diminui 2. Boa — já temos o declive.

Passo 4

Agora usamos a forma ponto-declive da reta. Se uma reta tem declive m e passa por um ponto (x_0,y_0), então a equação é
y-y_0=m(x-x_0).
Escolho o ponto A=(3,-1) (poderia usar B, dá no mesmo). Substituindo:
y-(-1)=-2\bigl(x-3\bigr).
Simplificando passo a passo:
y+1=-2x+6.
Passando tudo para um lado para obter a forma geral ax+by+c=0:
2x+y-5=0.
Aqui a=2, b=1 e c=-5. Essa é a equação geral procurada — números inteiros e bem limpos (ótimo pra prova).

Passo 5

Explicando por que essa transformação funciona, rapidinho: ao expandir -2(x-3) obtém-se -2x+6. Ao somar 1 em ambos os lados ou reorganizar termos, isolamos tudo no lado esquerdo e obtemos a forma linear padrão. A forma ax+by+c=0 é conveniente para testes de pertencimento (basta substituir as coordenadas e ver se dá zero).

Passo 6

Verificar se \mathrm{P}=(-7,19) pertence à reta substituindo na equação geral \,2x+y-5=0. Substituição passo a passo:
2\cdot(-7)+19-5=-14+19-5.
Calculemos em etapas:
-14+19=5,\qquad 5-5=0.
Como a substituição dá 0, a igualdade da equação é satisfeita. Isso significa que o ponto \mathrm{P}(-7,19) pertence à reta — ou seja, está exatamente na trajetória do drone.

Resposta

2x+y-5=0
Sim: \mathrm{P}(-7,19) pertence à reta.

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