Uma escada de 8 metros de comprimento está encostada em um muro. A base da escada forma um ângulo de
com o chão, que é horizontal. Sendo assim, responda às seguintes perguntas:
Qual é a distância da base do muro até a base da escada no chão?
Qual é a distância da base do muro até a base da escada no chão?
Passo 1
O enunciado dá uma escada encostada num muro com comprimento
e diz que a base da escada forma um ângulo de
com o chão (que é horizontal). A pergunta é: Qual é a distância, sobre o chão, entre a base do muro e a base da escada?
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
- comprimento da escada (hipotenusa do triângulo retângulo):
; - ângulo entre a escada e o chão (no ponto da base):
; - a distância pedida é o cateto adjacente ao ângulo de
(ou seja, a projeção horizontal da escada).
Passo 2
Modelando com um triângulo retângulo: a escada é a hipotenusa, o chão é um cateto (adjacente ao ângulo de
) e a parede é o outro cateto (oposto ao ângulo de
). Vamos chamar:
-
= comprimento da escada (hipotenusa) = ; -
= distância no chão entre a base do muro e a base da escada (cateto adjacente) — é o que queremos; -
= ângulo entre escada e chão = .
A razão trigonométrica que liga cateto adjacente e hipotenusa é o cosseno. Definição (em palavras simples):
-
.
Escrevendo com as nossas letras:
Explicando o valor de
sem calculadora: em um triângulo equilátero de lado
dividido ao meio, obtém-se um triângulo
-
-
com hipotenusa
e cateto adjacente ao ângulo de
igual a
. Portanto
(Resumo:
é uma identidade conhecida e vale
.)
Passo 3
Agora substituímos os valores na fórmula
. Com
e
:
Como
, temos
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Interpretando o resultado e checando rapidamente:
significa
. Como verificação, a altura alcançada pela escada na parede seria
e então
ou seja, satisfaz o teorema de Pitágoras — tudo consistente.