Uma escada de 8 metros de comprimento está encostada em um muro. A base da escada forma um ângulo de 60^{\circ} com o chão, que é horizontal. Sendo assim, responda às seguintes perguntas:
Qual é a distância da base do muro até a base da escada no chão?

Passo 1

O enunciado dá uma escada encostada num muro com comprimento \,8\\ \text{m}\, e diz que a base da escada forma um ângulo de \,60^\circ\, com o chão (que é horizontal). A pergunta é: Qual é a distância, sobre o chão, entre a base do muro e a base da escada?
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
  • comprimento da escada (hipotenusa do triângulo retângulo): \,8\\ \text{m}\,;
  • ângulo entre a escada e o chão (no ponto da base): \,60^\circ\;;
  • a distância pedida é o cateto adjacente ao ângulo de \,60^\circ (ou seja, a projeção horizontal da escada).

Passo 2

Modelando com um triângulo retângulo: a escada é a hipotenusa, o chão é um cateto (adjacente ao ângulo de \,60^\circ) e a parede é o outro cateto (oposto ao ângulo de \,60^\circ). Vamos chamar:
  • \,L = comprimento da escada (hipotenusa) = \,8\\ \text{m}\,;
  • \,x = distância no chão entre a base do muro e a base da escada (cateto adjacente) — é o que queremos;
  • \,\theta = ângulo entre escada e chão = \,60^\circ.
A razão trigonométrica que liga cateto adjacente e hipotenusa é o cosseno. Definição (em palavras simples):
  • \displaystyle \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}.
Escrevendo com as nossas letras:
\cos(\theta)=\frac{x}{L}.
Explicando o valor de \cos(60^\circ) sem calculadora: em um triângulo equilátero de lado 1 dividido ao meio, obtém-se um triângulo 30^\circ- 60^\circ- 90^\circ com hipotenusa 1 e cateto adjacente ao ângulo de 60^\circ igual a 1/2. Portanto
\cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2}.
(Resumo: \cos 60^\circ é uma identidade conhecida e vale \tfrac{1}{2}.)

Passo 3

Agora substituímos os valores na fórmula \cos(\theta)=\dfrac{x}{L}. Com \theta=60^\circ e L=8\\ \text{m}:
\cos(60^\circ)=\frac{x}{8}.
Como \cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2}, temos
\tfrac{1}{2}=\frac{x}{8}.
Multiplicando ambos os lados por 8:
x=8\cdot\tfrac{1}{2}=4.

Passo 4

Interpretando o resultado e checando rapidamente: x=4 significa \,4\\ \text{m}. Como verificação, a altura alcançada pela escada na parede seria \,h=8\sin(60^\circ)=8\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3} e então
x^{2}+h^{2}=4^{2}+(4\sqrt{3})^{2}=16+48=64=8^{2},
ou seja, satisfaz o teorema de Pitágoras — tudo consistente.

Resposta

\,4\\ \text{m}

Exercícios relacionados