Um laboratório de pesquisa precisa misturar três compostos químicos, I, J e K, para criar três soluções distintas, S1, S2 e S3. A quantidade (em gramas) de cada composto químico usada para formar 1 litro (\mathrm{L}) de cada solução é dada pela tabela:
Solução
Composto
\mathbf{I}(\mathbf{g} / \mathbf{L})
Composto
\mathbf{J}(\mathbf{g} / \mathbf{L})
Composto
\mathbf{K}(\mathbf{g} / \mathbf{L})
S1 2 3 1
S2 4 6 3
S3 6 9 4
Neste experimento, o laboratório utilizou um total de:
  • 1400 gramas do composto I
  • 2100 gramas do composto J
  • 750 gramas do composto K
Seja \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} volume total (em litros) produzido das soluções S1, S2 e S3, respectivamente, utilizando o método do escalonamento determine o volume total (x+y+z) de soluções produzido.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • As variáveis:
    • x = volume (em litros) da solução S1.
    • y = volume (em litros) da solução S2.
    • z = volume (em litros) da solução S3.
  • A tabela dá a quantidade (em gramas por litro) de cada composto em cada solução:
    • Para S1: \,I=2\\ \mathrm{g/L},\\ J=3\\ \mathrm{g/L},\\ K=1\\ \mathrm{g/L}.
    • Para S2: \,I=4\\ \mathrm{g/L},\\ J=6\\ \mathrm{g/L},\\ K=3\\ \mathrm{g/L}.
    • Para S3: \,I=6\\ \mathrm{g/L},\\ J=9\\ \mathrm{g/L},\\ K=4\\ \mathrm{g/L}.
  • Totais usados no experimento:
    • Total de I: 1400 g.
    • Total de J: 2100 g.
    • Total de K: 750 g.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o volume total produzido \,x+y+z, usando o método do escalonamento (eliminação de Gauss).

Passo 2

Montar o sistema linear a partir da tabela: cada linha corresponde à conservação de um composto (gramas totais = soma das contribuições de cada solução).
  • Para o composto [I): 2x + 4y + 6z = 1400.
  • Para o composto J: 3x + 6y + 9z = 2100.
  • Para o composto K: 1x + 3y + 4z = 750.
Escrevendo o sistema:
\begin{cases} 2x+4y+6z=1400,\\[4pt] 3x+6y+9z=2100,\\[4pt] x+3y+4z=750. \end{cases}
Explicação didática rápida: cada termo da forma (coeficiente)(\times](volume) representa a massa do composto aportada por aquela solução; somando as contribuições das três soluções obtemos o total conhecido.]

Passo 3

Aplicar o método do escalonamento (eliminação) de forma direta e simples: tentar obter equações mais simples dividindo linhas e eliminando variáveis.
Primeiro, divido a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para simplificar e comparar:
\text{(1')}\quad x+2y+3z=700, \qquad \text{(2')}\quad x+2y+3z=700.
Observação importante (o que isso significa): ao simplificar percebemos que a equação (2’) é exatamente igual à (1’). Ou seja, as equações referentes a I e J são dependentes — não trazem informação nova. Isso acontece porque, linha a linha, o coeficiente de J é sempre 1{,}5 vezes o coeficiente de I (por isso o total de J é 1{,}5 vezes o total de I).
Mantemos então (1’) e a equação de K:
\begin{cases} x+2y+3z=700,\\[4pt] x+3y+4z=750. \end{cases}]

Passo 4

Eliminar x subtraindo (1’) de (K) (ou de (B) acima) para obter uma equação só em y e z:
Subtraindo:
(x+3y+4z)-(x+2y+3z)=750-700.
No lado esquerdo o x cancela, e sobra:
y+z=50.
Explicação didática: essa operação é exatamente uma linha da eliminação de Gauss — usou-se uma equação como pivô para anular x em outra equação, reduzindo o sistema.

Passo 5

Agora temos duas equações simples:
\begin{cases} x+2y+3z=700,\\[4pt] y+z=50. \end{cases}
Resolvo para y em função de z:
y=50-z.
Substituo em (1’):
x+2(50-z)+3z=700.
Desenvolvendo:
x+100-2z+3z=700 \quad\Rightarrow\quad x+100+z=700.
Logo
x+z=600 \quad\Rightarrow\quad x=600-z.]

Passo 6

Interpretando o resultado: obtivemos
x=600-z,\qquad y=50-z,
onde z é uma variável livre (parâmetro). Isso significa que o sistema tem infinitas soluções — a informação dada pelas massas de I,J,K não é suficiente para determinar unicamente os volumes x,y,z. Em termos da eliminação, havia dependência entre as equações, por isso sobrou um grau de liberdade.
Explicação didática sobre variável livre: em sistemas lineares com menos equações independentes do que incógnitas, uma (ou mais) variáveis podem ser escolhidas arbitrariamente e as outras expressas em função delas.

Passo 7

Agora calculo o volume total x+y+z em termos de z:
x+y+z=(600-z)+(50-z)+z=650-z.
Observação física: volumes devem ser não-negativos. Impor x\ge0,\\ y\ge0,\\ z\ge0 dá restrições:
x=600-z\ge0 \Rightarrow z\le600, \qquad y=50-z\ge0 \Rightarrow z\le50, \qquad z\ge0.
Juntando: 0\le z\le50.
Assim x+y+z=650-z varia quando z varia no intervalo [0,50]. Em particular:
  • Se z=0 então x=600,\\ y=50 e x+y+z=650.
  • Se z=50 então x=550,\\ y=0 e x+y+z=600.
Portanto o total de soluções possível não é único, mas está limitado a um intervalo.

Resposta

Não é possível determinar um único valor para x+y+z; as soluções são parametrizadas por z como
x=600-z,\quad y=50-z,
com 0\le z\le50. Logo
x+y+z=650-z,
e portanto x+y+z pode variar no intervalo [600,\;650] litros.

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