Um laboratório de pesquisa precisa misturar três compostos químicos, I, J e K, para criar três soluções distintas, S1, S2 e S3. A quantidade (em gramas) de cada composto químico usada para formar 1 litro (\mathrm{L}) de cada solução é dada pela tabela:
Solução
Composto
\mathbf{I}(\mathbf{g} / \mathbf{L})
Composto
\mathbf{J}(\mathbf{g} / \mathbf{L})
Composto
\mathbf{K}(\mathbf{g} / \mathbf{L})
S1
2
3
1
S2
4
6
3
S3
6
9
4
Neste experimento, o laboratório utilizou um total de:
1400 gramas do composto I
2100 gramas do composto J
750 gramas do composto K
Seja \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} volume total (em litros) produzido das soluções S1, S2 e S3, respectivamente, utilizando o método do escalonamento determine o volume total (x+y+z) de soluções produzido.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
As variáveis:
x = volume (em litros) da solução S1.
y = volume (em litros) da solução S2.
z = volume (em litros) da solução S3.
A tabela dá a quantidade (em gramas por litro) de cada composto em cada solução:
Para S1: \,I=2\\ \mathrm{g/L},\\ J=3\\ \mathrm{g/L},\\ K=1\\ \mathrm{g/L}.
Para S2: \,I=4\\ \mathrm{g/L},\\ J=6\\ \mathrm{g/L},\\ K=3\\ \mathrm{g/L}.
Para S3: \,I=6\\ \mathrm{g/L},\\ J=9\\ \mathrm{g/L},\\ K=4\\ \mathrm{g/L}.
Totais usados no experimento:
Total de I: 1400 g.
Total de J: 2100 g.
Total de K: 750 g.
O que o enunciado pede:
Determinar o volume total produzido \,x+y+z, usando o método do escalonamento (eliminação de Gauss).
Passo 2
Montar o sistema linear a partir da tabela: cada linha corresponde à conservação de um composto (gramas totais = soma das contribuições de cada solução).
Explicação didática rápida: cada termo da forma (coeficiente)(\times](volume) representa a massa do composto aportada por aquela solução; somando as contribuições das três soluções obtemos o total conhecido.]
Passo 3
Aplicar o método do escalonamento (eliminação) de forma direta e simples: tentar obter equações mais simples dividindo linhas e eliminando variáveis.
Primeiro, divido a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para simplificar e comparar:
Observação importante (o que isso significa): ao simplificar percebemos que a equação (2’) é exatamente igual à (1’). Ou seja, as equações referentes a I e J são dependentes — não trazem informação nova. Isso acontece porque, linha a linha, o coeficiente de J é sempre 1{,}5 vezes o coeficiente de I (por isso o total de J é 1{,}5 vezes o total de I).
Eliminar x subtraindo (1’) de (K) (ou de (B) acima) para obter uma equação só em y e z:
Subtraindo:
(x+3y+4z)-(x+2y+3z)=750-700.
No lado esquerdo o x cancela, e sobra:
y+z=50.
Explicação didática: essa operação é exatamente uma linha da eliminação de Gauss — usou-se uma equação como pivô para anular x em outra equação, reduzindo o sistema.
onde z é uma variável livre (parâmetro). Isso significa que o sistema tem infinitas soluções — a informação dada pelas massas de I,J,K não é suficiente para determinar unicamente os volumes x,y,z. Em termos da eliminação, havia dependência entre as equações, por isso sobrou um grau de liberdade.
Explicação didática sobre variável livre: em sistemas lineares com menos equações independentes do que incógnitas, uma (ou mais) variáveis podem ser escolhidas arbitrariamente e as outras expressas em função delas.
Passo 7
Agora calculo o volume total x+y+z em termos de z:
x+y+z=(600-z)+(50-z)+z=650-z.
Observação física: volumes devem ser não-negativos. Impor x\ge0,\\ y\ge0,\\ z\ge0 dá restrições: