Uma escada de 8 metros de comprimento está encostada em um muro. A base da escada forma um ângulo de
com o chão, que é horizontal. Sendo assim, responda às seguintes perguntas:
Qual é a altura que a escada atinge no muro?
Qual é a altura que a escada atinge no muro?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O comprimento da escada é
metros. - A base da escada forma um ângulo de
com o chão (o chão é horizontal). - A escada está encostada no muro, portanto forma um triângulo retângulo entre chão, muro e escada.
O enunciado pergunta:
- Qual é a altura que a escada atinge no muro?
Passo 2
Vamos nomear as quantidades para ficar claro:
- Seja
o comprimento da escada (a hipotenusa do triângulo). Temos m. - Seja
o ângulo entre a escada e o chão. Temos . - Seja
a altura que a escada atinge no muro (o cateto oposto ao ângulo ). Queremos encontrar .
Passo 3
Recordando uma definição básica de trigonometria em triângulos retângulos:
- A função seno de um ângulo
é dada por
No nosso triângulo, o cateto oposto é
e a hipotenusa é
. Portanto:
Essa fórmula é fundamental e muito usada em provas: identifica a razão entre o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa.
Passo 4
Isolando
na expressão anterior obtemos a relação útil para calcular a altura:
Agora substituímos os valores conhecidos
e
:
Passo 5
Precisamos lembrar o valor do seno de
. Um argumento simples: num triângulo equilátero de lado
, ao traçar a altura obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa
e cateto oposto ao ângulo de
igual a
; assim
Substituindo:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Podemos também dar uma aproximação decimal útil em provas e verificações. Como
, então