Uma escada de 8 metros de comprimento está encostada em um muro. A base da escada forma um ângulo de 60^{\circ} com o chão, que é horizontal. Sendo assim, responda às seguintes perguntas:
Qual é a altura que a escada atinge no muro?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O comprimento da escada é 8 metros.
  • A base da escada forma um ângulo de 60^\circ com o chão (o chão é horizontal).
  • A escada está encostada no muro, portanto forma um triângulo retângulo entre chão, muro e escada.
O enunciado pergunta:
  • Qual é a altura que a escada atinge no muro?

Passo 2

Vamos nomear as quantidades para ficar claro:
  • Seja L o comprimento da escada (a hipotenusa do triângulo). Temos L=8 m.
  • Seja \theta o ângulo entre a escada e o chão. Temos \theta=60^\circ.
  • Seja H a altura que a escada atinge no muro (o cateto oposto ao ângulo \theta). Queremos encontrar H.

Passo 3

Recordando uma definição básica de trigonometria em triângulos retângulos:
  • A função seno de um ângulo \theta é dada por
\sin\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
No nosso triângulo, o cateto oposto é H e a hipotenusa é L. Portanto:
\sin\theta=\frac{H}{L}.
Essa fórmula é fundamental e muito usada em provas: identifica a razão entre o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa.

Passo 4

Isolando H na expressão anterior obtemos a relação útil para calcular a altura:
H = L\sin\theta.
Agora substituímos os valores conhecidos L=8 e \theta=60^\circ:
H = 8\sin 60^\circ.

Passo 5

Precisamos lembrar o valor do seno de 60^\circ. Um argumento simples: num triângulo equilátero de lado 2, ao traçar a altura obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa 2 e cateto oposto ao ângulo de 60^\circ igual a \sqrt{3}; assim
\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo:
H = 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Simplificando a expressão:
H = 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}.
Podemos também dar uma aproximação decimal útil em provas e verificações. Como \sqrt{3}\approx 1,732, então
H \approx 4\cdot 1,732 = 6,928.

Resposta

4\sqrt{3}\\ \text{m} \approx 6,928\\ \text{m}

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