Um drone se move no espaço com posição dada por r(t)=(2 t, 3 t,-t). Mostre que o conjunto de todas as posições possíveis forma um subespaço de R^3. Encontre uma base e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado dá a curva
vec rcolon RtoR^3 com
vec r(t) = (2t,;3t,;-t)
O que queremos é mostrar que o conjunto
S = l(2t,3t,-t)mid tinRr
é um subespaço de R^3, e então encontrar uma base de S e sua dimensão.

Passo 2

Note que para todo tinR temos
(2t,3t,-t) = t,(2,3,-1)
Isso mostra que
S = lt,(2,3,-1)mid tinRr = span(2,3,-1)
Como qualquer conjunto de todas as combinações lineares de um vetor é um subespaço, S é subespaço de R^3.

Passo 3

Vimos que todo vetor de S é múltiplo de (2,3,-1). Logo esse único vetor gera S, isto é,
(2,3,-1)
é um sistema gerador de S. Para ver que é também linearmente independente, note que se
alpha,(2,3,-1) = (0,0,0)
então alpha=0. Portanto esse conjunto é uma base de S.

Passo 4

Como a base escolhida tem exatamente um vetor, a dimensão de S é
dim S = 1

Resposta

Uma base de S é
l(2,3,-1)r,
e dim S = 1.

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