Os vetores v1=(3,2,1), v2=(2,1,0) e v3=(5,3,1) representam movimentos de diferentes robôs em uma linha de montagem. Verifique se os vetores são LI ou LD, e interprete o que isso significa no contexto da operação da fábrica.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
vec v1=(3,2,1), vec v2=(2,1,0) e vec v3=(5,3,1).
Precisamos verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para isso, vamos usar a definição via determinante de uma matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são vec v1, vec v2 e vec v3:
A = 3 & 2 & 5 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1
Se det(A)neq0, os vetores são LI; se det(A)=0, são LD.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) =3det!1&30&1 -2det!2&31&1 +5det!2&11&0
Agora cada menor:
det!1&30&1=1cdot1-3cdot0=1,
det!2&31&1=2cdot1-3cdot1=-1,
det!2&11&0=2cdot0-1cdot1=-1
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det(A)=3cdot1 -2cdot(-1) +5cdot(-1) =3+2-5=0

Passo 4

Como det(A)=0, concluímos que vec v1,vec v2,vec v3 são linearmente dependentes.

Passo 5

No contexto da fábrica, LD significa que o movimento de um dos robôs pode ser obtido como combinação dos movimentos dos outros dois. Em outras palavras, não há “grau de liberdade” novo trazido pelo terceiro vetor: os três robôs acabam seguindo trajetórias que estão no mesmo plano/movimento já gerado pelos dois primeiros. Operacionalmente, isso indica redundância de trajetória ou risco de colisão caso tentem executar esses movimentos simultaneamente sem ajuste.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes (LD). Isso significa que um dos movimentos é redundante em relação aos outros dois, não gerando um grau de liberdade extra na linha de montagem.

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