Uma impressora 3D precisa redimensionar peças prototipadas. Cada peça tem largura
e altura
, e o novo tamanho é obtido por uma transformação linear que dobra a largura e reduz a altura pela metade.
- Defina a transformação linear
que representa essa operação.
- Verifique se
é de fato uma transformação linear.
- Aplique
à peça original de dimensões
.
- Interprete geometricamente o efeito da transformação.
Passo 1
O enunciado pede para modelar o redimensionamento de uma peça de largura
e altura
por meio de uma transformação que dobra a largura e reduz a altura pela metade. O conteúdo é transformação linear em
. Vamos precisar:
- Definir explicitamente
. - Mostrar que
e . - Calcular
. - Explicar geometricamente o que ocorre com o plano.
Passo 2
Definimos
Em notação matricial,
Passo 3
Verificação de linearidade:
- Aditividade: para
e ,
- Homogeneidade: para escalar
,
Portanto,
é linear.
Passo 4
Aplicando
a
:
Passo 5
Geometricamente,
é um escalonamento anisotrópico: estica o plano na direção
por fator
(duplica a largura) e comprime na direção
por fator
(metade da altura).
Resposta
Definição:
Verificação:
satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.
Imagem de :
Imagem de
Interpretação geométrica: escalonamento que dobra as distâncias horizontais e reduz à metade as verticais.