Uma impressora 3D precisa redimensionar peças prototipadas. Cada peça tem largura x e altura y, e o novo tamanho é obtido por uma transformação linear que dobra a largura e reduz a altura pela metade.
  1. Defina a transformação linear T: R^2 R^2 que representa essa operação.
  2. Verifique se T é de fato uma transformação linear.
  3. Aplique T à peça original de dimensões (x, y)=(4,6).
  4. Interprete geometricamente o efeito da transformação.

Passo 1

O enunciado pede para modelar o redimensionamento de uma peça de largura x e altura y por meio de uma transformação que dobra a largura e reduz a altura pela metade. O conteúdo é transformação linear em R^2. Vamos precisar:
  1. Definir explicitamente T.
  2. Mostrar que T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=c,T(u).
  3. Calcular T(4,6).
  4. Explicar geometricamente o que ocorre com o plano.

Passo 2

Definimos
Em notação matricial,

Passo 3

Verificação de linearidade:
  1. Aditividade: para (x1,y1) e (x2,y2),
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) =T(x1+x2,y1+y2) =(2(x1+x2),tfracy1+y22) =(2x1,tfracy12)+(2x2,tfracy22) =T(x1,y1)+T(x2,y2)
  1. Homogeneidade: para escalar cinR,
Tl(c,(x,y)r) =T(cx,cy) =(2cx,tfraccy2) =c,(2x,tfracy2) =c,T(x,y)
Portanto, T é linear.

Passo 4

Aplicando T a (4,6):
T(4,6) =l(2cdot4,tfrac62r) =(8,3)

Passo 5

Geometricamente, T é um escalonamento anisotrópico: estica o plano na direção x por fator 2 (duplica a largura) e comprime na direção y por fator tfrac12 (metade da altura).

Resposta

Definição:
T(x,y)=(2x,tfracy2)
Verificação: T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.
Imagem de (4,6):
T(4,6)=(8,3)
Interpretação geométrica: escalonamento que dobra as distâncias horizontais e reduz à metade as verticais.

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