Em uma fazenda, três rações são compostas por milho, soja e farelo, em proporções diferentes:
  • Ração 1: (2,1,1)
  • Ração 2: (1,2,1)
  • Ração 3: (3,3,2)
Mostre que essas rações geram um subespaço de R^3 e encontre uma base para esse espaço.

Passo 1

O enunciado associa três rações a três vetores de R^3:
v1=(2,1,1), v2=(1,2,1), v3=(3,3,2)
A tarefa é mostrar que o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores é um subespaço de R^3 e, em seguida, encontrar uma base para esse subespaço. Vamos usar que o span de vetores em R^n é sempre subespaço e depois investigar dependência linear para extrair uma base.

Passo 2

Definimos
S = spanv1,v2,v3 = ,a,v1 + b,v2 + c,v3 mid a,b,cinR
Pelo teorema padrão, qualquer span de vetores em R^3 contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar. Logo S é um subespaço de R^3.

Passo 3

Para achar uma base, vemos se há dependência linear entre v1,v2,v3. Considere
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0)
Isso gera o sistema
2a + b + 3c = 0, a + 2b + 3c = 0, a + b + 2c = 0

Passo 4

Da primeira equação obtemos b = -2a - 3c. Substituindo na terceira:
a +(-2a-3c) + 2c = 0 ;Longrightarrow; -a - c = 0 ;Longrightarrow; a = -c
Então b = -2(-c)-3c = -c. Logo a=b=-c. Substituindo na segunda não aparece contradição, e isolando achamos
v3 = v1 + v2
Portanto v3 é combinação de v1 e v2, o que mostra que dim S = 2.

Passo 5

Como
Da terceira equação , logo e . São independentes e formam base de .

Resposta

Uma base para o subespaço gerado é
(2,1,1),,(1,2,1)

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