Em uma fazenda, três rações são compostas por milho, soja e farelo, em proporções diferentes:
Ração 1:
Ração 2:
Ração 3:
Mostre que essas rações geram um subespaço de e encontre uma base para esse espaço.
Passo 1
O enunciado associa três rações a três vetores de :
A tarefa é mostrar que o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores é um subespaço de e, em seguida, encontrar uma base para esse subespaço. Vamos usar que o span de vetores em é sempre subespaço e depois investigar dependência linear para extrair uma base.
Passo 2
Definimos
Pelo teorema padrão, qualquer span de vetores em contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar. Logo é um subespaço de .
Passo 3
Para achar uma base, vemos se há dependência linear entre . Considere
Isso gera o sistema
Passo 4
Da primeira equação obtemos b = -2a - 3c. Substituindo na terceira:
a +(-2a-3c) + 2c = 0 ;Longrightarrow; -a - c = 0 ;Longrightarrow; a = -c
Então b = -2(-c)-3c = -c. Logo a=b=-c. Substituindo na segunda não aparece contradição, e isolando achamos
v3 = v1 + v2
Portanto v3 é combinação de v1 e v2, o que mostra que dim S = 2.
Passo 5
Como
Da terceira equação , logo e . São independentes e formam base de .