Duas amostras de diferentes gases (A e B), estão contidas em recipientes idênticos e mantidos na mesma temperatura. Cada amostra tem o mesmo número de moléculas, porém cada molécula do gás A tem massa 64 vezes maior que cada uma das moléculas do gás B. Sobre essa situação podemos afirmar que:
I. No gás B, as moléculas se movimentam mais rápido.
II. As moléculas do gás B produzem um impacto maior nas paredes do recipiente, que o impacto provocado pelas moléculas do gás A .
III. Ambas as amostras estão sob à mesma pressão.
IV. As colisões entre moléculas e paredes dos recipientes são mais frequentes na amostra A do que na B.
Assinale a alternativa que apresenta APENAS as afirmações corretas.
a) I e II.
b) II e III.
c) III e IV.
d) I e III.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Duas amostras de gases, A e B, em recipientes idênticos e à mesma temperatura.
  • Cada amostra tem o mesmo número de moléculas (vou chamar esse número de N).
  • A massa de cada molécula do gás A é 64 vezes a massa de cada molécula do gás B. Vou expressar isso como m_A = 64\,m_B.
O que o enunciado pede: verificar quais das afirmações I, II, III e IV são verdadeiras:
I. No gás B, as moléculas se movimentam mais rápido.
II. As moléculas do gás B produzem um impacto maior nas paredes do recipiente do que as do gás A.
III. Ambas as amostras estão sob a mesma pressão.
IV. As colisões entre moléculas e paredes dos recipientes são mais frequentes na amostra A do que na B.

Passo 2

Entender como a velocidade média das moléculas depende da massa quando a temperatura é a mesma.
Teoria usada (explicada): na teoria cinética dos gases, a energia cinética média de uma molécula é proporcional à temperatura absoluta. A fórmula é
\langle E_k\rangle = \tfrac{3}{2}kT,
onde k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura (em kelvin). Essa energia também é dada por \tfrac{1}{2}m v_{\text{rms}}^2, onde m é a massa de uma molécula e v_{\text{rms}} é a velocidade quadrática média (root-mean-square). Igualando as duas expressões:
\tfrac{1}{2} m v_{\text{rms}}^2 = \tfrac{3}{2} kT.
Isolando v_{\text{rms}} obtemos
v_{\text{rms}} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}}.
O que significa: para mesma T, v_{\text{rms}} é inversamente proporcional à raiz quadrada da massa m. Portanto, moléculas mais leves têm maior velocidade média.
Aplicando aos gases A e B: como m_A = 64\,m_B, a razão entre velocidades é
\dfrac{v_{\text{rms},B}}{v_{\text{rms},A}} = \sqrt{\dfrac{m_A}{m_B}} = \sqrt{64} = 8.
Logo v_{\text{rms},B} = 8\,v_{\text{rms},A}. Conclusão direta: as moléculas do gás B movem-se mais rápido. Assim a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Analisar a afirmação II (impacto nas paredes por colisão de uma molécula).
Teoria usada (explicada): para uma colisão elástica normal contra a parede, a variação de quantidade de movimento (momento) de uma molécula é aproximadamente \Delta p \approx 2 m v_{\perp}, onde m é a massa da molécula e v_{\perp} é a componente da velocidade perpendicular à parede (assumimos que, em média, v_{\perp} escala com v_{\text{rms}}). Esse 2mv é proporcional a m v. Então o “impacto” por colisão é maior para maiores valores de m v.
Comparação entre massas e velocidades: sabemos que v_B = 8 v_A (do passo 2). Calculamos os produtos m v para cada tipo:
m_B v_B = m_B \cdot 8 v_A = 8\,m_B v_A,
m_A v_A = 64\,m_B \cdot v_A = 64\,m_B v_A.
Comparando, m_A v_A = 8 \times (m_B v_B). Ou seja, uma molécula de A entrega, por colisão, cerca de 8 vezes mais variação de momento (impacto) do que uma molécula de B. Portanto a afirmação II (que diz que B produz impacto maior que A) é falsa.

Passo 4

Analisar a afirmação III (mesma pressão nas amostras).
Teoria usada (explicada): a equação de estado do gás ideal é
pV = N k T,
onde p é a pressão, V o volume do recipiente, N o número de moléculas, k a constante de Boltzmann e T a temperatura. Se os recipientes são idênticos, então V é igual para os dois; o enunciado diz que N é igual e a temperatura T é igual. Logo os dois lados da igualdade resultam no mesmo p. Portanto as duas amostras estão sob a mesma pressão: a afirmação III é verdadeira.
Observação adicional (opcional para entendimento): também pela teoria cinética podemos escrever
p = \tfrac{1}{3} n m v_{\text{rms}}^2,
onde n = N/V é a densidade numérica. Note que m v_{\text{rms}}^2 é proporcional a kT (ver passo 2), então mesmo com massas diferentes o produto m v_{\text{rms}}^2 é o mesmo quando T é o mesmo, e com n igual a pressão fica igual — consistência com a equação de estado.

Passo 5

Analisar a afirmação IV (frequência de colisões com as paredes é maior em A).
Teoria usada (explicada): a frequência com que uma única molécula colide com as paredes é proporcional à sua velocidade média perpendicular às paredes; então, em média, a taxa de colisões por molécula cresce com v_{\text{rms}}. Como v_{\text{rms},B} = 8 v_{\text{rms},A}, cada molécula de B colide com as paredes muito mais vezes por unidade de tempo que cada molécula de A. Como o número de moléculas N é o mesmo em ambas as amostras, a frequência total de colisões (soma sobre todas as moléculas) será maior no gás B, não em A. Portanto a afirmação IV (que diz que as colisões são mais frequentes em A) é falsa.

Passo 6

Resumo das verdades/falsidades:
  • I: verdadeira (moléculas de B são mais rápidas).
  • II: falsa (impacto por colisão é maior para moléculas de A).
  • III: verdadeira (mesma pressão, pois pV = NkT com N,V,T iguais).
  • IV: falsa (colisões com paredes são mais frequentes em B, pois suas moléculas se movem mais rápido).

Resposta

d) I e III.

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