Duas barras de aço cilindricas (uma dúctil e outra frágil), solicitadas sob tração, possuem a seguinte geometria: diâmetro externo (D) de 22 mm e um entalhe externo circular (formando uma geometria similar a um pescoço) cujo raio ® tem 1 mm . Admita que tal geometria tenha um fator de concentração de tensōes igual a 2 .
Qual a forca máxima que uma barra frágil (com \mathrm{LE}=\mathrm{LR}=1000 \mathrm{MPa} ) pode suportar sem que frature? Apresente seus cálculos.

Passo 1

O enunciado dá uma barra cilíndrica com diâmetro externo D=22\text{ mm} e um entalhe cujo raio é r=1\text{ mm}, resultando num diâmetro mínimo. A geometria tem fator de concentração de tensões K_t=2. Para a barra frágil, o limite de ruptura é \mathrm{LR}=1000\text{ MPa}. Queremos a força máxima F tal que a tensão máxima no entalhe não ultrapasse \mathrm{LR}. Usaremos: tensão nominal \sigma_{\text{nom}}=F/A, tensão máxima \sigma_{\max}=K_t\,\sigma_{\text{nom}} e condição de fratura \sigma_{\max}=\mathrm{LR}.

Passo 2

O diâmetro no ponto crítico (raiz do entalhe) vale
d = D - 2\,r = 22 - 2\cdot1 = 20\text{ mm}.
A área da seção mínima é
A = \pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2 = \pi\Bigl(\frac{20}{2}\Bigr)^2 = 100\pi\;\text{mm}^2.

Passo 3

A tensão nominal é
\sigma_{\text{nom}} = \frac{F}{A},
e a tensão máxima no entalhe é
\sigma_{\max} = K_t\,\sigma_{\text{nom}} = K_t\,\frac{F}{A}.
Para fraturar, \sigma_{\max}=\mathrm{LR}, logo
K_t\,\frac{F}{A} = \mathrm{LR} \quad\Longrightarrow\quad F = \frac{\mathrm{LR}\,A}{K_t}.

Passo 4

Substituindo \mathrm{LR}=1000\text{ MPa}=1000\;\mathrm{N/mm}^2, A=100\pi\;\mathrm{mm}^2 e K_t=2,
F = \frac{1000\cdot(100\pi)}{2}\;\mathrm{N} = 50\,000\pi\;\mathrm{N} \approx 1,57\times10^{5}\;\mathrm{N}.

Resposta

A força máxima que a barra frágil suporta sem fraturar é
F_{\max}\approx1,57\times10^{5}\;\mathrm{N}.

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