Duas barras cilíndricas, uma de latão (de comprimento 20 cm ) e outra de cobre (com 80 cm de comprimento), são conectadas pelas extremidades. Ambas possuem uma seção reta de 0,006 m^2 e estão bem isoladas de maneira a não perder energia através das superfícies laterais. A extremidade livre da barra de latão está imersa em água fervente enquanto a extremidade livre da barra de cobre está numa mistura de água e gelo, ambas a uma pressão atmosférica.
Dados: condutividade térmica do latão: 109 W / m cdot K, condutividade térmica do cobre: 401 W / m cdot K.
a) Qual a temperatura da extremidade na qual as duas barras estão unidas?
b) Qual a massa de gelo que derrete em 5 minutos devido ao calor conduzido pelas barras?

Passo 1

O enunciado descreve duas barras cilíndricas de seção constante A=0,006,m^2 unidas em série: uma de latão com L1=0,20,m e k1=109,W/(mcdot K), e outra de cobre com L2=0,80,m e k2=401,W/(mcdot K). As extremidades livres estão a 100^circC (água fervente) e 0^circC (mistura de gelo). Queremos (a) a temperatura de junção Tj em regime estacionário e (b) a massa de gelo que derrete em 5 min devido ao calor conduzido.

Passo 2

Em regime estacionário unidimensional a lei de Fourier dá, para cada barra,
Q = ki,A,De<a TiLi,,
onde Q é a potência térmica constante. Para o latão
Q = k1,A,Th - TjL1
e para o cobre
Q = k2,A,Tj - TcL2,
Como é o mesmo Q nas duas barras, igualamos
k1,A,Th - TjL1 = k2,A,Tj - TcL2,

Passo 3

Cancelando A e rearranjando, obtemos
k1,L2,(Th - Tj) = k2,L1,(Tj - Tc) ;Longrightarrow; Tj = k1,L2,Th + k2,L1,Tc k1,L2 + k2,L1,
Substituindo Th=100 circC e Tc=0 circC,
Tj = 109cdot0,80cdot100 + 401cdot0,20cdot0 109cdot0,80 + 401cdot0,20 = 872087,2 + 80,2 approx 52,1;circC

Passo 4

A potência conduzida vale
Q = k1,A,Th - TjL1 = 109cdot0,006;100 - 52,10,20 approx 156,7;W

Passo 5

Em 5 min ( De<a t=300 s) a energia transferida é
E = Q,De<a t approx 156,7;Wtimes300;s =47,010;J

Passo 6

Para derreter gelo usamos Lfapprox3,34times10^5 J/kg, então a massa é
m = ELf approx 47,0103,34times10^5 approx0,141;kg

Resposta

a) Tj approx 52,1 circC
b) m approx 0,141 kg

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