Duas barras metalicas de comprimentos
e
e coeficientes de dilataçalo superficial
e
, possuem em suas extremidades cargas elétricas pontuais cujas cargas valem
coulombs, respectivamente. Sabendo que a distância entre as extremidades das barras em que se localizam as cargas vale
, determine o valor da força elétrica entre as cargas quando ambas as barras sofrem uma variaçalo de temperatura igual a
. Considere o sistema imerso no vácuo.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas barras metálicas com comprimentos $ L_{1} $ e $ L_{2} $, e coeficientes de dilatação superficial $ \beta_{1} $ e $ \beta_{2} $. Nas extremidades dessas barras, existem cargas elétricas pontuais $ q_{1} $ e $ q_{2} $. A distância entre essas cargas é $ d $. A questão pede para a gente encontrar a força elétrica entre as cargas quando ambas as barras sofrem um aumento de temperatura $ \Delta T > 0 $. Vamos usar conceitos de dilatação térmica e Lei de Coulomb para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a temperatura afeta o comprimento das barras. Quando um material é aquecido, ele se expande. A dilatação linear de uma barra pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
- $ \Delta L $ é a variação do comprimento,
- $ L $ é o comprimento inicial,
- $ \beta $ é o coeficiente de dilatação superficial,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Vamos calcular a expansão de cada barra.
Passo 3
Calculando a expansão da primeira barra:
E da segunda barra:
Esses valores nos dizem quanto cada barra vai se alongar devido ao aumento de temperatura.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a nova distância entre as cargas após a expansão das barras. Se as duas barras se expandem na mesma direção da distância $ d $, a nova distância $ d’ $ será:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Com a nova distância $ d’ $, podemos usar a Lei de Coulomb para encontrar a força elétrica entre as cargas:
Onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k \approx 8,99 \times 10^{9} , N·m²/C² $).
Substituindo $ d’ $:
Resposta
A força elétrica entre as cargas após a variação de temperatura $ \Delta T $ é dada por: