Duas barras metálicas paralelas de mesmas dimensões, 50 mm de diâmetro de 150 mm de comprimento, sendo uma de ferro ( \mathrm{k}=50 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) e outra de cobre ( \mathrm{k}=385 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) são usadas para separar duas superfícies, cujas temperaturas constantes são 80^{\circ} \mathrm{C} e 5^{\circ} \mathrm{C}. Determine a quantidade total de calor que atravessa as barras.

Passo 1

O enunciado dá duas barras cilíndricas paralelas, de mesmas dimensões, ligando duas superfícies com temperaturas constantes. Pergunta: determinar a quantidade total de calor que atravessa as barras (fluxo térmico total em regime estacionário). Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{diâmetro das barras: } d=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m},\\\ &\text{comprimento (espessura entre superfícies): } L=150\\ \mathrm{mm}=0,150\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperaturas das superfícies: } T_1=80^\circ\mathrm{C},\\ T_2=5^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{diferença de temperatura: } \Delta T = T_1-T_2 = 80-5 = 75\\ ^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{condutividade térmica do ferro: } k_{\mathrm{Fe}}=50\\ \mathrm{W/(m\;K)},\\\ &\text{condutividade térmica do cobre: } k_{\mathrm{Cu}}=385\\ \mathrm{W/(m\;K)}. \end{aligned}âííçéé

Passo 2

Princípio físico / fórmula a usar (aula rápida e prática):
A condução unidimensional estacionária em uma barra homogênea e de área constante é descrita pela Lei de Fourier. Para um gradiente constante isso vira a fórmula
\dot{Q} = k\,A\,\frac{\Delta T}{L},
onde:
\begin{aligned} &\dot{Q}\\ \text{é a taxa de calor (potência) que atravessa a barra, em }\mathrm{W},\\\ &k\\ \text{é a condutividade térmica do material, em }\mathrm{W/(m\;K)},\\\ &A\\ \text{é a área da seção transversal da barra, em }\mathrm{m^2},\\\ &\Delta T\\ \text{é a diferença de temperatura entre as extremidades, em K (ou }^\circ\mathrm{C}\text{)},\\\ &L\\ \text{é o comprimento da barra (espessura entre superfícies), em m.} \end{aligned}éêéééáçãéçéí
Observação física importante: as duas barras estão em paralelo térmico entre as mesmas duas superfícies; cada barra conduz independentemente, e o fluxo total é soma dos fluxos de cada barra:
\dot{Q}_{\mathrm{total}}=\dot{Q}_{\mathrm{Fe}}+\dot{Q}_{\mathrm{Cu}}.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal (barras circulares):
A fórmula da área de um círculo é A=\pi d^{2}/4. Substituindo d=0,05\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi (0,05)^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,0025}{4} = \pi\cdot 0,000625.
Calculando numericamente:
A \approx 0{,}001963495\\ \mathrm{m^2}.
(Guardei casas decimais suficientes para as contas seguintes.)

Passo 4

Calcular a taxa de calor através da barra de ferro (passo a passo):
Usamos \dot{Q}_{\mathrm{Fe}} = k_{\mathrm{Fe}}\,A\,\dfrac{\Delta T}{L}. Substituindo:
\dot{Q}_{\mathrm{Fe}} = 50\cdot 0{,}001963495\cdot\frac{75}{0{,}150}.
Fazendo em etapas:
50\cdot 0{,}001963495 = 0{,}09817475,
0{,}09817475\cdot 75 = 7{,}36310625,
\frac{7{,}36310625}{0{,}150} = 49{,}087375\\ \mathrm{W}.
Arredondando razoavelmente:
\dot{Q}_{\mathrm{Fe}}\approx 49{,}09\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Calcular a taxa de calor através da barra de cobre (passo a passo):
Usamos \dot{Q}_{\mathrm{Cu}} = k_{\mathrm{Cu}}\,A\,\dfrac{\Delta T}{L}. Substituindo:
\dot{Q}_{\mathrm{Cu}} = 385\cdot 0{,}001963495\cdot\frac{75}{0{,}150}.
Etapas:
385\cdot 0{,}001963495 \approx 0{,}755945732,
0{,}755945732\cdot 75 = 56{,}6959299,
\frac{56{,}6959299}{0{,}150} = 377{,}972866\\ \mathrm{W}.
Arredondando:
\dot{Q}_{\mathrm{Cu}}\approx 377{,}97\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Somar os fluxos (barras em paralelo):
\dot{Q}_{\mathrm{total}}=\dot{Q}_{\mathrm{Fe}}+\dot{Q}_{\mathrm{Cu}} \approx 49{,}09 + 377{,}97 = 427{,}06\\ \mathrm{W}.
Interpretação rápida e motivadora: o cobre contribui muito mais porque sua condutividade é bem maior; o ferro fornece só uma fração pequena do total. Mas a soma é o que interessa para a transferência total de calor entre as superfícies.

Resposta

\dot{Q}_{\mathrm{total}}=427{,}06\\ \mathrm{W}

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