Uma divisória de 3,0 \mathrm{~m} de largura é feita de madeira (\mathrm{k}=0,16 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}) com 2,0 \mathrm{~cm} de espessura até uma altura de 1,1 metro. A seguir, há uma janela fixa feita de vidro temperado (\mathrm{k}=0,72 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}) de 1,0 \mathrm{~cm} de espessura e 0,9 metros de altura. A partir daí até o teto, há um fechamento de gesso ( \mathrm{k}=0,31 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) de 3,0 \mathrm{~cm} de 0,5 \mathrm{~m} de altura. A sala é mantida a uma temperatura de 23^{\circ} \mathrm{C} e o ambiente externo tem uma temperatura de 35^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o fluxo de calor por essa parede usando a analogia com a Lei de Ohm.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de calor através da parede (isto é, a potência térmica atravessando a parede) entre o ambiente externo a 35^\circ\mathrm{C} e a sala a 23^\circ\mathrm{C}, usando a analogia com a Lei de Ohm. Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
  • Largura da divisória: \,3,0\\ \mathrm{m}.
  • Três faixas horizontais da parede (todas com a mesma largura \,3,0\\ \mathrm{m}), com alturas e materiais:
    • Faixa 1 (madeira): altura \,1,1\\ \mathrm{m}; espessura \,2,0\\ \mathrm{cm}; condutividade \,k=0,16\\ \mathrm{W/(mK)}.
    • Faixa 2 (vidro temperado): altura \,0,9\\ \mathrm{m}; espessura \,1,0\\ \mathrm{cm}; condutividade \,k=0,72\\ \mathrm{W/(mK)}.
    • Faixa 3 (gesso): altura \,0,5\\ \mathrm{m}; espessura \,3,0\\ \mathrm{cm}; condutividade \,k=0,31\\ \mathrm{W/(mK)}.
  • Temperaturas: ambiente externo \,35^\circ\mathrm{C}, sala \,23^\circ\mathrm{C}.
  • O enunciado pede o fluxo de calor total por essa parede (potência em watts).

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que vamos usar (a “analogia com a Lei de Ohm”):
  • Para condução térmica unidimensional através de uma parede plana homogênea, a taxa de calor em regime estacionário é análoga a corrente elétrica:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R},
onde \dot{Q} é a potência térmica (em \mathrm{W}), \Delta T é a diferença de temperatura entre os lados (em \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C}) e R é a resistência térmica (em \mathrm{K/W}).
  • A resistência térmica de uma placa plana é
R=\frac{L}{kA},
onde L é a espessura da placa (em \mathrm{m}), k é a condutividade térmica do material (em \mathrm{W/(mK)}) e A é a área perpendicular ao fluxo de calor (em \mathrm{m^2}).
Observação didática: se existirem vários caminhos paralelos para o calor (como várias faixas lado a lado ou — neste caso — empilhadas verticalmente ocupando porções diferentes da parede), cada caminho tem sua própria resistência R_i e as potências somam:
\dot{Q}_\mathrm{total}=\sum_i \dot{Q}_i.
É útil trabalhar com condutância térmica G_i=1/R_i=k_i A_i/L_i; para caminhos em paralelo:
G_\mathrm{total}=\sum_i G_i,\qquad \dot{Q}_\mathrm{total}=\Delta T\;G_\mathrm{total}.

Passo 3

Por que tratamos as três faixas como caminhos em paralelo?
  • Cada faixa horizontal cobre uma porção diferente da altura total da parede, mas todas têm a mesma espessura na direção do fluxo e estão ligadas em paralelo entre o interior e o exterior: o calor atravessa cada faixa independentemente (não é obrigatório passar pela madeira antes de chegar ao vidro, etc.). Logo, somamos as potências de cada faixa para obter o total. (Se as camadas estivessem empilhadas na direção do fluxo numa mesma área, aí seriam resistências em série; não é o caso.)

Passo 4

Converter espessuras e calcular áreas de cada faixa (todos os números em unidades do SI):
  • Espessuras (converter \mathrm{cm} para \mathrm{m}):
    • Madeira: L_1=2,0\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}.
    • Vidro: L_2=1,0\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.
    • Gesso: L_3=3,0\\ \mathrm{cm}=0,03\\ \mathrm{m}.
  • Áreas (largura \,3,0\\ \mathrm{m} multiplicada pela altura de cada faixa):
    • Madeira: A_1=3,0\cdot 1,1=3,3\\ \mathrm{m^2}.
    • Vidro: A_2=3,0\cdot 0,9=2,7\\ \mathrm{m^2}.
    • Gesso: A_3=3,0\cdot 0,5=1,5\\ \mathrm{m^2}.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T=35^\circ\mathrm{C}-23^\circ\mathrm{C}=12\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a resistência térmica de cada faixa (mostro os cálculos passo a passo):
  • Faixa 1 (madeira):
R_1=\frac{L_1}{k_1 A_1}=\frac{0,02}{0,16\cdot 3,3}=\frac{0,02}{0,528}=0,0379\\ \mathrm{K/W}.
  • Faixa 2 (vidro):
R_2=\frac{L_2}{k_2 A_2}=\frac{0,01}{0,72\cdot 2,7}=\frac{0,01}{1,944}=0,00514\\ \mathrm{K/W}.
  • Faixa 3 (gesso):
R_3=\frac{L_3}{k_3 A_3}=\frac{0,03}{0,31\cdot 1,5}=\frac{0,03}{0,465}=0,0645\\ \mathrm{K/W}.
(Arredondei a três casas decimais significativas nas resistências; os cálculos intermediários foram mostrados.)

Passo 6

Calcular as condutâncias de cada faixa (opcional, mas é prático para somar caminhos em paralelo):
  • Faixa 1:
G_1=\frac{1}{R_1}= \frac{k_1 A_1}{L_1}=0,16\cdot\frac{3,3}{0,02}=26,4\\ \mathrm{W/K}.
  • Faixa 2:
G_2=\frac{1}{R_2}= \frac{k_2 A_2}{L_2}=0,72\cdot\frac{2,7}{0,01}=194,4\\ \mathrm{W/K}.
  • Faixa 3:
G_3=\frac{1}{R_3}= \frac{k_3 A_3}{L_3}=0,31\cdot\frac{1,5}{0,03}=15,5\\ \mathrm{W/K}.

Passo 7

Somar as condutâncias para obter a condutância total e calcular a potência total:
  • Condutância total:
G_\mathrm{total}=G_1+G_2+G_3=26,4+194,4+15,5=236,3\\ \mathrm{W/K}.
  • Potência (fluxo de calor total):
\dot{Q}_\mathrm{total}=\Delta T\;G_\mathrm{total}=12\cdot 236,3=2835,6\\ \mathrm{W}.
Podemos também expressar em \mathrm{kW}:
\dot{Q}_\mathrm{total}\approx 2,836\\ \mathrm{kW}\\ (\text{aprox. }2,84\\ \mathrm{kW}).

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida: o maior caminho de calor é através do vidro (condutividade maior e espessura pequena), por isso ele domina a transferência. A soma faz sentido numericamente: resistência equivalente da parede é pequena ( \approx 0,00423\\ \mathrm{K/W}), resultando em uma potência de algumas kW devido à diferença de 12\\ \mathrm{K}.

Resposta

\dot{Q}_\mathrm{total}=2835,6\\ \mathrm{W} (aprox. \,2,84\\ \mathrm{kW})

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