Uma pequena espira circular de raio a, percorrida por uma corrente I, está posicionada ao longo do eixo de uma segunda espira circular de raio b, com b gg a. A distância entre os centros das espiras é z, e seus planos são paralelos entre si. Determine a indutância mútua entre as duas espiras.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas espiras circulares, coaxiais e em planos paralelos: uma de raio a (pequena) com corrente I, e outra de raio b (grande), com bgg a, separadas por uma distância z.
Conteúdo: indutância mútua, campo magnético axial de espira circular, fluxo magnético.
O que vamos precisar:
  1. Fórmula do campo magnético B(z) no eixo de uma espira de raio b com corrente I.
  2. Definição de fluxo magnético Phi=integral vec Bcdot dvec A.
  3. Definição de indutância mútua M=Phi/I.

Passo 2

Primeiro, o campo magnético produzido pela espira de raio b no ponto que fica a uma distância z do seu centro, no eixo, vem da lei de Biot–Savart. Por simetria as componentes radiais se cancelam e sobra só a componente axial. O resultado padrão desse cálculo é
B(z);=;mu0,I2,b^2(b^2+z^2)^3/2,
onde mu0 é a permeabilidade do vácuo.

Passo 3

Como bgg a, a espira pequena é tão miudinha que o campo B(z) pode ser considerado praticamente constante sobre toda a sua área. Então o fluxo magnético pela espira de raio a é
Phi ;=;integral vec Bcdot dvec A ;approx; B(z)times A ;=; mu0,I2,b^2(b^2+z^2)^3/2;times;pi a^2

Passo 4

Pela definição de indutância mútua temos
M ;=;PhiI ;=;1I;gl[mu0,I2,b^2(b^2+z^2)^3/2;pi a^2gr] ;=;mu0,pi a^2 b^22,(b^2+z^2)^3/2

Resposta

M ;=;mu0,pi,a^2,b^22,(b^2+z^2)^3/2

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