Duas bolas de bilhar com massas ligeiramente diferentes, uma com e outra com colidem frontalmente com velocidades iniciais em direções opostas dadas por e respectivamente. Admitindo-se uma colisão perfeitamente elástica ocorrendo num plano horizontal e desprezando-se o tamanho / defeitos de forma / energia de rotação das bolas, pede-se:
Admitindo que o contacto físico entre as bolas durante a colisão tenha durado um breve intervalo de tempo , obtenha a força média experimentada por cada uma das bolas durante este intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui são duas bolas de bilhar com massas um pouquinho diferentes: uma de 100 g e outra de 115 g. Elas estão se movendo uma contra a outra com velocidades iniciais dadas. A colisão é perfeitamente elástica, o que significa que a energia cinética total é conservada, e vai acontecer rapidamente, num intervalo de tempo de 10 milissegundos. O que precisamos descobrir é qual foi a força média que cada bola sentiu durante essa colisão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momentum (quantidade de movimento) e força média, aplicando as leis de conservação de momentum e energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força média durante a colisão pode ser calculada usando a mudança no momentum das bolas dividida pelo intervalo de tempo da colisão. A fórmula é:
Onde:
F é a força média,
De é a mudança no momentum,
De é o intervalo de tempo da colisão.
Mas para encontrar De, precisamos saber as velocidades das bolas antes e depois da colisão.
Passo 3
Como a colisão é perfeitamente elástica, tanto o momentum quanto a energia cinética são conservados. As equações para as velocidades finais (v1f e v2f) após a colisão são:
v1f = (m1 - m2)m1 + m2 v1i + 2m2m1 + m2 v2i
v2f = 2m1m1 + m2 v1i + (m2 - m1)m1 + m2 v2i
Onde:
m1 e m2 são as massas das bolas,
v1i e v2i são as velocidades iniciais,
v1f e v2f são as velocidades finais.
Passo 4
Vamos converter as massas para quilogramas e as velocidades para metros por segundo para facilitar os cálculos:
m1 = 100,g = 0,1,kg
m2 = 115,g = 0,115,kg
v1i = +10,cm/s = +0,10,m/s
v2i = -13,cm/s = -0,13,m/s
Passo 5
Agora, vamos calcular v1f:
v1f = (0,1 - 0,115)0,1 + 0,115 times 0,10 + 2 times 0,1150,1 + 0,115 times (-0,13)
Calculando passo a passo:
(0,1 - 0,115)0,215 = -0,0150,215 approx -0,0698
2 times 0,1150,215 = 0,230,215 approx 1,0698
v1f = (-0,0698) times 0,10 + (1,0698) times (-0,13)
v1f = -0,00698 - 0,13807
v1f approx -0,145,m/s
Passo 6
Agora, vamos calcular v2f:
v2f = 2 times 0,10,215 times 0,10 + (0,115 - 0,1)0,215 times (-0,13)
Calculando passo a passo:
2 times 0,10,215 = 0,20,215 approx 0,9302
(0,115 - 0,1)0,215 = 0,0150,215 approx 0,0698
v2f = 0,9302 times 0,10 + 0,0698 times (-0,13)
v2f = 0,09302 - 0,00907
v2f approx 0,084,m/s
Passo 7
Agora que temos as velocidades finais, vamos calcular a mudança no momentum (De) para cada bola:
Para a bola 1:
De
De
De
De
Para a bola 2:
De
De
De
De
Passo 8
Agora, vamos calcular a força média usando F = De. Lembrando que De.
Para a bola 1:
F1 = -0,02450,01
F1 = -2,45,N
Para a bola 2:
F2 = 0,024610,01
F2 = 2,461,N
Resposta
A força média durante a colisão foi de aproximadamente -2,45,N para a primeira bola e +2,46,N para a segunda bola.