Duas bolas de bilhar com massas ligeiramente diferentes, uma com m1=100 g e outra com m2=115 g colidem frontalmente com velocidades iniciais em direções opostas dadas por v1 i=+10 i cm / s e v2 i=-13 i cm / s respectivamente. Admitindo-se uma colisão perfeitamente elástica ocorrendo num plano horizontal e desprezando-se o tamanho / defeitos de forma / energia de rotação das bolas, pede-se:
Verifique que o valor do coeficiente de restituição definido como a razão das velocidades relativas entre as partículas antes e após a colisão, CR=|v2 f-v1 fv2 i-v1 i|, é exatamente igual a 1 como se espera para uma colisão perfeitamente elástica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bolas de bilhar com massas um pouco diferentes, uma pesando 100 g e a outra 115 g. Elas estão se movendo em direções opostas antes da colisão, com velocidades de $ \overrightarrow{v}{1i} = +10 , \hat{\mathbf{i}} , cm/s $ e $ \overrightarrow{v}{2i} = -13 , \hat{\mathbf{i}} , cm/s $, respectivamente. A colisão é perfeitamente elástica, ou seja, a energia cinética total é preservada. Nosso objetivo aqui é verificar se o coeficiente de restituição $ C_R $ é exatamente igual a 1, que é o que esperamos para uma colisão perfeitamente elástica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente de restituição $ C_R $. Ele é definido como a razão entre as velocidades relativas das partículas após e antes da colisão:
CR
Para uma colisão perfeitamente elástica, $ C_R $ deve ser igual a 1. Então, vamos calcular as velocidades finais $ v_{1f} $ e $ v_{2f} $ após a colisão usando as fórmulas de colisão perfeitamente elástica em uma dimensão.

Passo 3

As fórmulas para as velocidades finais em uma colisão perfeitamente elástica são:
v1f = (m1 - m2)m1 + m2 cdot v1i + 2m2m1 + m2 cdot v2i
v2f = 2m1m1 + m2 cdot v1i + (m2 - m1)m1 + m2 cdot v2i
Vamos substituir os valores:
  • $ m_1 = 100 , g $
  • $ m_2 = 115 , g $
  • $ v_{1i} = +10 , cm/s $
  • $ v_{2i} = -13 , cm/s $

Passo 4

Calculando $ v_{1f} $:
v1f
v1f = (100 - 115)100 + 115 cdot 10 + 2 cdot 115100 + 115 cdot (-13)
v1f = -15215 cdot 10 + 230215 cdot (-13)
v1f = -150215 - 2990215

Passo 5

Calculando $ v_{2f} $:
v2f
v2f = 2 cdot 100100 + 115 cdot 10 + (115 - 100)100 + 115 cdot (-13)
v2f = 200215 cdot 10 + 15215 cdot (-13)
v2f = 2000215 - 195215

Passo 6

Agora que temos $ v_{1f} \approx -14,6 , cm/s $ e $ v_{2f} \approx 8,4 , cm/s $, vamos calcular o coeficiente de restituição $ C_R $:
v1f approx -14,6 , cm/s
v2f approx 8,4 , cm/s

Resposta

O coeficiente de restituição $ C_R $ é igual a 1, confirmando que a colisão é perfeitamente elástica, conforme esperado.

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