Duas bolas são retiradas de uma urna contendo m bolas numeradas de 1 a m. A primeira bola é retirada, se for a de número 1, retira-se uma segunda bola sem repor essa de número 1. Se for de outro número, devolve-se essa bola a urna. Qual é a probabilidade de uma segunda bola bola retirada ser a de número 2 ?

Passo 1

O enunciado descreve um experimento em que se retiram duas bolas de uma urna com m bolas numeradas de 1 a m, mas com a regra de que, se a primeira bola for a de número 1, ela não é reposta; caso contrário, volta-se com reposição. Precisamos usar o conteúdo de Probabilidade Condicional e a Lei da Probabilidade Total para encontrar
P(segunda bola é a de número 2) éú

Passo 2

Seja A o evento “a primeira bola é a de número 1” e bar A seu complementar. Pela Lei da Probabilidade Total:
P(2ª=2)=P(A),P(2ª=2mid A)+P(bar A),P(2ª=2mid bar A) ªªª

Passo 3

Calcular P(A) e P(2u00aa=2mid A):
  • P(A)=1/m, pois h\u00e1 m bolas e somente uma \u00e9 a de n\u00famero 1.
  • Dado que a primeira foi a de n\u00famero 1 (e n\u00e3o foi reposta), restam m-1 bolas ( 2 at\u00e9 m), ent\u00e3o
P(2u00aa=2mid A)=1m-1
Logo, o primeiro termo vale
P(A),P(2u00aa=2mid A)=1mcdot1m-1=1m(m-1)

Passo 4

Calcular P(bar A) e P(2u00aa=2mid bar A):
  • P(bar A)=(m-1)/m.
  • Se a primeira bola n\u00e3o foi a de n\u00famero 1, ela \u00e9 reposta, ent\u00e3o na segunda retirada h\u00e1 novamente m bolas uniformes, com probabilidade 1/m de sair a de n\u00famero 2.
P(2u00aa=2mid bar A)=1m
Assim, o segundo termo \u00e9
P(bar A),P(2u00aa=2mid bar A)=m-1mcdot1m=m-1m^2

Passo 5

Somando os dois termos e fazendo a simplificação:
P(2ª=2) =1m(m-1)+m-1m^2 =m^2-m+1m^2,(m-1) ª

Resposta

P(segunda bola é 2) =m^2 - m + 1m^2,(m-1) é

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