Duas bolas de tênis são lançadas, simultaneamente, de um mesmo ponto com velocidade inicial de mesmo módulo v0=18 m / s. A primeira bola (1) é lançada verticalmente para cima e a segunda bola (2) descreve uma trajetória parabólica com o vetor velocidade inicial fazendo um ângulo gamma=60^circ com a direção vertical. Desprezando a resistência do ar, qual o módulo do vetor posição da bola 2 em relação à bola 1 para um tempo t=1 s após o lançamento de ambas? Dê sua resposta em metros.

Passo 1

Então, o que o enunciado diz é que temos duas bolinhas de tênis lançadas do mesmo ponto, com a mesma rapidez inicial .
  1. A bolinha 1 vai só para cima (movimento vertical).
  2. A bolinha 2 parte com o mesmo módulo de velocidade, mas inclinada em em relação ao vertical (ou seja, faz uma parábola).
    A matéria envolvida é Cinemática no plano: decomposição de vetores de velocidade, equações do MUV (Movimento Uniformemente Variado) e cálculo de vetor posição.
    O que precisamos:
  • Decompor a velocidade inicial da bolinha 2 em componentes vertical e horizontal;
  • Escrever as equações de posição e para cada bola;
  • Fazer o vetor posição relativa ;
  • Calcular o módulo desse vetor em .

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola 2.
  • Como o ângulo é medido a partir do vertical, a componente vertical é
    v0y2 = 18cos 60^circ = 18cdottfrac12 = 9 m/s, v0x2 = 18sin 60^circ = 18cdottfracraiz32 = 9raiz3 m/s .
  • A componente horizontal é
    .
    Substituindo e :

Passo 3

Agora, escrevemos as posições das duas bolas em função do tempo, lembrando que o eixo x1(t)=0, y1(t)=v0,t - tfrac12,g,t^2 = 18t - 4,9,t^2 é positivo para cima e a aceleração é x2(t)=v0x2,t = 9raiz3,t, y2(t)=v0y2,t - tfrac12,g,t^2 = 9t - 4,9,t^2 com .
Bola 1 (só vertical):
Bola 2 (plano):

Passo 4

A posição relativa da bola 2 em relação à bola 1 é
vec r2/1(t) = l(x2(t)-x1(t)r),hatimath + l(y2(t)-y1(t)r),hatjmath
Como x2/1(t)=9raiz3,t, y2/1(t)=l(9t - 4,9,t^2r) - l(18t - 4,9,t^2r) = 9t - 18t = -9t , fica

Passo 5

Agora, plugamos x2/1(1)=9raiz3, y2/1(1)=-9 :
l|vec r2/1(1)r| = raiz(9raiz3)^2 + (-9)^2 = raiz243 + 81 = raiz324 = 18 m
O módulo do vetor é

Resposta

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