Expresse a relação funcional entre theta e t através de uma integral, utilizando o método da energia para integrar a EDO do pêndulo simples.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o pêndulo simples e precisa relacionar o ângulo theta com o tempo t usando uma integral. Para isso, vamos usar o método da energia, que nos ajuda a integrar a equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o pêndulo simples consiste em uma massa m pendurada em um fio de comprimento L. Quando ele oscila, tem energia cinética e potencial. A energia total do sistema é constante, já que não tem atrito.

Passo 3

A energia cinética ( Ec) do pêndulo é dada por:
Ec = 12 m (L dthetadt)^2
Aqui, L dthetadt é a velocidade tangencial da massa.

Passo 4

A energia potencial ( Ep) é:
Ep = m g L (1 - costheta)
Essa expressão vem do fato de que a altura da massa varia conforme o ângulo theta.

Passo 5

Como a energia total ( E) é constante, temos:
E = Ec + Ep = 12 m L^2 (dthetadt)^2 + m g L (1 - costheta)

Passo 6

Podemos rearranjar essa equação para isolar dthetadt:
dthetadt = raiz2L^2 (Em - g L (1 - costheta))

Passo 7

Para encontrar a relação entre theta e t, vamos separar as variáveis e integrar:
integral dthetaraiz2L^2 (Em - g L (1 - costheta)) = integral dt

Passo 8

Essa integral pode ser simplificada e resolvida, mas geralmente leva a uma função elíptica. Portanto, a relação funcional entre theta e t é dada por:
t = integral dthetaraiz2EmL^2 - 2gL (1 - costheta)

Resposta

A relação funcional entre theta e t é:
t = integral dthetaraiz2EmL^2 - 2gL (1 - costheta)

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