Expresse a relação funcional entre
e
através de uma integral, utilizando o método da energia para integrar a EDO do pêndulo simples.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o pêndulo simples e precisa relacionar o ângulo
com o tempo
usando uma integral. Para isso, vamos usar o método da energia, que nos ajuda a integrar a equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o pêndulo simples consiste em uma massa
pendurada em um fio de comprimento
. Quando ele oscila, tem energia cinética e potencial. A energia total do sistema é constante, já que não tem atrito.
Passo 3
A energia cinética (
) do pêndulo é dada por:
Aqui,
é a velocidade tangencial da massa.
Passo 4
A energia potencial (
) é:
Essa expressão vem do fato de que a altura da massa varia conforme o ângulo
.
Passo 5
Como a energia total (
) é constante, temos:
Passo 6
Podemos rearranjar essa equação para isolar
:
Passo 7
Para encontrar a relação entre
e
, vamos separar as variáveis e integrar:
Passo 8
Essa integral pode ser simplificada e resolvida, mas geralmente leva a uma função elíptica. Portanto, a relação funcional entre
e
é dada por:
Resposta
A relação funcional entre
e
é: