Em t=0 s, um corpo A possui uma velocidade inicial v0=1 m / s e posição inicial x0=1 m. Entre t=0 set=t1 s, sua aceleração é nula. A partir de t=t1=1 s, sua aceleração é descrita por a(t)=a0(t1 / t)^3 m / s^2, onde a0=1 m / s^2. Qual a velocidade do corpo A para t=2 s(t>t1) ? Dê sua resposta em m / s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tem aqui. A gente tem um corpo A que, no começo (t = 0 s), está se movendo com uma velocidade inicial de $ v_0 = 1, m/s $ e está na posição $ x_0 = 1, m $. De 0 a 1 segundo, ele não acelera, ou seja, sua velocidade continua a mesma. Depois de 1 segundo (t = 1 s), a aceleração começa a mudar conforme a função $ a(t) = a_0 \left( \frac{t_1}{t} \right)^3 $, onde $ a_0 = 1, m/s^2 $ e $ t_1 = 1, s $. A pergunta é: qual é a velocidade do corpo A aos 2 segundos?

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com o período de 0 a 1 segundo. Como a aceleração é zero, a velocidade não muda. Então, a velocidade no instante t₁ = 1 s é a mesma que a inicial, ou seja:
v(t1) = v0 = 1, m/s

Passo 3

Agora, a partir de t₁ = 1 s até t = 2 s, temos uma aceleração que depende do tempo:
a(t) = ( t1t )^3 cdot a0
Substituindo $ a_0 = 1, m/s^2 $ e $ t_1 = 1, s $, fica:
a0 = 1, m/s^2

Passo 4

Para achar a velocidade em t = 2 s, precisamos integrar a aceleração nesse intervalo de tempo, pois velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. A fórmula geral é:
v(t) = v(t1) + integralt1^t a(tau) , dtau
Substituindo os valores:
v(2) = 1, m/s + integral1^2 1tau^3 , dtau

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral 1tau^3 , dtau = integral tau^-3 , dtau
A integral de $ \tau^{-3} $ é:
tau^-3
Agora, avaliando de 1 a 2:
tau^-2-2 = -12tau^2

Passo 6

Agora, somamos esse resultado à velocidade em t₁:
v(2) = 1, m/s + 38, m/s = 1,375, m/s

Resposta

A velocidade do corpo A aos 2 segundos é $ 1,!375, m/s $.

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