Em
, um corpo A possui uma velocidade inicial
e posição inicial
. Entre
, sua aceleração é nula. A partir de
, sua aceleração é descrita por
, onde
. Qual a velocidade do corpo A para
? Dê sua resposta em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tem aqui. A gente tem um corpo A que, no começo (t = 0 s), está se movendo com uma velocidade inicial de $ v_0 = 1, m/s $ e está na posição $ x_0 = 1, m $. De 0 a 1 segundo, ele não acelera, ou seja, sua velocidade continua a mesma. Depois de 1 segundo (t = 1 s), a aceleração começa a mudar conforme a função $ a(t) = a_0 \left( \frac{t_1}{t} \right)^3 $, onde $ a_0 = 1, m/s^2 $ e $ t_1 = 1, s $. A pergunta é: qual é a velocidade do corpo A aos 2 segundos?
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com o período de 0 a 1 segundo. Como a aceleração é zero, a velocidade não muda. Então, a velocidade no instante t₁ = 1 s é a mesma que a inicial, ou seja:
Passo 3
Agora, a partir de t₁ = 1 s até t = 2 s, temos uma aceleração que depende do tempo:
Substituindo $ a_0 = 1, m/s^2 $ e $ t_1 = 1, s $, fica:
Passo 4
Para achar a velocidade em t = 2 s, precisamos integrar a aceleração nesse intervalo de tempo, pois velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. A fórmula geral é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
A integral de $ \tau^{-3} $ é:
Agora, avaliando de 1 a 2:
Passo 6
Agora, somamos esse resultado à velocidade em t₁:
Resposta
A velocidade do corpo A aos 2 segundos é $ 1,!375, m/s $.