Questão 1: Determinado teste usado para o diagnóstico precoce da gravidez é capaz de confirmar casos positivos em
das gestantes muito jovens. Isto porque, em 10% das gestantes muito jovens, ocorre escamação do epitélio do útero, que é confundida com a menstruação. Nessas condições, qual é a probabilidade de duas de cinco gestantes muito jovens que se submeteram a esse teste não terem a gravidez confirmada.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- A probabilidade de o teste confirmar a gravidez numa gestante muito jovem é
. - Logo, a probabilidade de o teste NÃO confirmar a gravidez (devido à escamação confundida com menstruação) é
. - Um grupo de
gestantes muito jovens foi testado. - A pergunta: qual é a probabilidade de exatamente
das gestantes NÃO terem a gravidez confirmada?
Passo 2
Que modelo usar? Cada gestante submetida ao teste é um ensaio com duas possibilidades: “não confirmado” (probabilidade
) ou “confirmado” (probabilidade
). Assumimos que os ensaios são independentes (testes em pessoas distintas). Para contar quantas formas diferentes
falhas podem ocorrer entre
ensaios e calcular a probabilidade correspondente, usamos o modelo binomial.
Definição útil: seja
a variável aleatória “número de gestantes que não têm a gravidez confirmada” em
testes. Então
segue uma distribuição binomial com parâmetros
onde
é o número de ensaios e
é a probabilidade de “sucesso” (aqui definimos “sucesso” como o evento de interesse: não confirmado).
Passo 3
A fórmula da probabilidade para a binomial é
onde:
-
é o número total de ensaios ( aqui), -
é o número de ocorrências que queremos ( aqui), -
é a probabilidade de ocorrência em cada ensaio ( aqui), -
é o coeficiente binomial, que conta em quantas maneiras podemos escolher os ensaios que terão o evento entre os .
Lembrete sobre coeficiente binomial:
onde
(fatorial) é o produto dos inteiros de
até
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula com
,
,
.
Calcule o coeficiente binomial:
Calcule as potências:
Multiplicando tudo:
Faça a multiplicação:
Interpretação: a probabilidade de exatamente
das
gestantes não terem a gravidez confirmada é
, ou seja cerca de
.
Passo 5
Resumo prático para a prova (fórmula pronta e uso): quando tiveres
ensaios independentes, probabilidade de evento em cada ensaio
, e pergunta “qual a probabilidade de exatamente
ocorrências?”, usa imediatamente
e calcula
por fatoriais. Aqui só foi aplicar isso com
,
,
.