Questão 1: Determinado teste usado para o diagnóstico precoce da gravidez é capaz de confirmar casos positivos em 90 \% das gestantes muito jovens. Isto porque, em 10% das gestantes muito jovens, ocorre escamação do epitélio do útero, que é confundida com a menstruação. Nessas condições, qual é a probabilidade de duas de cinco gestantes muito jovens que se submeteram a esse teste não terem a gravidez confirmada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A probabilidade de o teste confirmar a gravidez numa gestante muito jovem é \,90\%.
  • Logo, a probabilidade de o teste NÃO confirmar a gravidez (devido à escamação confundida com menstruação) é \,10\%.
  • Um grupo de 5 gestantes muito jovens foi testado.
  • A pergunta: qual é a probabilidade de exatamente 2 das 5 gestantes NÃO terem a gravidez confirmada?

Passo 2

Que modelo usar? Cada gestante submetida ao teste é um ensaio com duas possibilidades: “não confirmado” (probabilidade \,0,1) ou “confirmado” (probabilidade \,0,9). Assumimos que os ensaios são independentes (testes em pessoas distintas). Para contar quantas formas diferentes 2 falhas podem ocorrer entre 5 ensaios e calcular a probabilidade correspondente, usamos o modelo binomial.
Definição útil: seja X a variável aleatória “número de gestantes que não têm a gravidez confirmada” em 5 testes. Então X segue uma distribuição binomial com parâmetros
n=5\quad\text{e}\quad p=0,1,
onde n é o número de ensaios e p é a probabilidade de “sucesso” (aqui definimos “sucesso” como o evento de interesse: não confirmado).

Passo 3

A fórmula da probabilidade para a binomial é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \,n é o número total de ensaios ( 5 aqui),
  • \,k é o número de ocorrências que queremos ( 2 aqui),
  • \,p é a probabilidade de ocorrência em cada ensaio ( 0,1 aqui),
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta em quantas maneiras podemos escolher os k ensaios que terão o evento entre os n.
Lembrete sobre coeficiente binomial:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde m! (fatorial) é o produto dos inteiros de 1 até m.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com n=5, k=2, p=0,1.
Calcule o coeficiente binomial:
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{2\cdot1\cdot3!}=\frac{20}{2}=10.
Calcule as potências:
p^{2}=(0,1)^{2}=0,01, \qquad (1-p)^{3}=(0,9)^{3}=0,9\cdot0,9\cdot0,9=0,729.
Multiplicando tudo:
P(X=2)=\binom{5}{2}\,p^{2}\,(1-p)^{3}=10\cdot0,01\cdot0,729.
Faça a multiplicação:
10\cdot0,01=0,1,\qquad 0,1\cdot0,729=0,0729.
Interpretação: a probabilidade de exatamente 2 das 5 gestantes não terem a gravidez confirmada é 0,0729, ou seja cerca de 7,29\%.

Passo 5

Resumo prático para a prova (fórmula pronta e uso): quando tiveres n ensaios independentes, probabilidade de evento em cada ensaio p, e pergunta “qual a probabilidade de exatamente k ocorrências?”, usa imediatamente
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},
e calcula \binom{n}{k} por fatoriais. Aqui só foi aplicar isso com n=5, k=2, p=0,1.

Resposta

\,0,0729
7,29\%

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