Duas cargas pontuais, q_{1}=+2 \mu \mathrm{C} e q_{2}=-4 \mu \mathrm{C}. estāo fixas no vácuo e separadas por uma distância de 0,2 \mathrm{~m}. Uma terceira carga, \alpha_{3}=+1 \mathrm{gC}. é colocada no ponto médio entre q_{1} e q_{2}. Determine o vetor da força elétrica resultante sobre a carga q_{3}. Considere a constante eletrostatica k=9 \times 10^{3} \times m^{2} C^{2}

Passo 1

O enunciado pede que você determine o vetor da força elétrica resultante sobre a carga colocada no ponto médio entre duas cargas fixas. Dados fornecidos:
q_{1}=+2\\ \mu\mathrm{C},
q_{2}=-4\\ \mu\mathrm{C},
\text{distância entre }q_{1}\text{ e }q_{2}=0{,}20\\ \mathrm{m},â
q_{3}=+1\\ \mu\mathrm{C}\\ (\text{carga colocada no ponto médio}),é
k=9\times 10^{3}.
As perguntas: qual é o vetor da força elétrica resultante \vec{F}_{3} que atua sobre a carga q_{3} (módulo e direção/sentido)?

Passo 2

Escolhemos um eixo para trabalhar (isso facilita somar vetores): colocamos q_{1} em x=-0{,}10\\ \mathrm{m}, q_{2} em x=+0{,}10\\ \mathrm{m} e q_{3} em x=0 (ponto médio). Assim a distância de q_{3} até cada uma das outras cargas é
r_{13}=r_{23}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
Transformações de unidades (muito importantes!): 1\\ \mu\mathrm{C}=1\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}. Portanto
q_{1}=2\times 10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad q_{2}=-4\times 10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad q_{3}=1\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 3

Apresentamos a lei de Coulomb que dá a força elétrica entre duas cargas pontuais:
\vec{F} = k\frac{q_a q_b}{r^{2}}\hat{r},
onde:
  • k é a constante eletrostática (dada),
  • q_a e q_b são as cargas elétricas (em coulombs),
  • r é a distância entre as cargas (em metros),
  • \hat{r} é o versor que aponta de uma carga para a outra (direção e sentido).
    Aqui vamos calcular separadamente a força sobre q_{3} devido a q_{1} (denotada \vec{F}_{13}) e devido a q_{2} (denotada \vec{F}_{23}), e depois somá-las vetorialmente:
\vec{F}_{3}=\vec{F}_{13}+\vec{F}_{23}.

Passo 4

Calculamos os módulos das forças com a fórmula escalar (colocando os valores numéricos passo a passo). Primeiro a força entre q_{1} e q_{3}:
F_{13}=k\frac{|q_{1}||q_{3}|}{r_{13}^{2}}.
Substituindo:
F_{13}=9\times10^{3}\cdot\frac{(2\times10^{-6})(1\times10^{-6})}{(0{,}10)^{2}}.
Calcule passo a passo:
(2\times10^{-6})(1\times10^{-6})=2\times10^{-12},
(0{,}10)^{2}=0{,}01,
\frac{2\times10^{-12}}{0{,}01}=2\times10^{-10},
F_{13}=9\times10^{3}\cdot 2\times10^{-10}=18\times10^{-7}=1{,}8\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Agora a força entre q_{2} e q_{3}:
F_{23}=k\frac{|q_{2}||q_{3}|}{r_{23}^{2}}.
Substituindo:
F_{23}=9\times10^{3}\cdot\frac{(4\times10^{-6})(1\times10^{-6})}{(0{,}10)^{2}}.
Calcule passo a passo:
(4\times10^{-6})(1\times10^{-6})=4\times10^{-12},
\frac{4\times10^{-12}}{0{,}01}=4\times10^{-10},
F_{23}=9\times10^{3}\cdot 4\times10^{-10}=36\times10^{-7}=3{,}6\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Determinação dos sentidos (muito importante): q_{3} é positiva. A interação com q_{1} (positiva) é de repulsão, então \vec{F}_{13} aponta para a direita (sentido + x). A interação com q_{2} (negativa) é de atração, então \vec{F}_{23} também aponta para a direita (porque q_{2} está à direita de q_{3}). Logo ambas as forças têm o mesmo sentido (+ x) e podemos somar os módulos:
F_{3}=F_{13}+F_{23}=1{,}8\times10^{-6}+3{,}6\times10^{-6}=5{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Escrevendo o vetor usando o versor \hat{\imath} (eixo x positivo para a direita):
\vec{F}_{3}=5{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{N}\;\hat{\imath}.
Interpretação: a força resultante tem módulo 5{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{N} e aponta para a direita ao longo do eixo que escolhemos.

Resposta

\vec{F}_{3}=5{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{N}\\ \hat{\imath}

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