Utua grande placa plana e nāo-condutora, utilizada em um filtro eletrostatico industrial, pode ser modelada como um plano infinito com uma densidade superficial de carga uniforme e positiva of 4,0 \backslash 10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} A placa está imersa no ar (meio com permissividade \varepsilon_{0}=8.85 \times 10^{-12}\left(\mathrm{C}^{2} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{~m}^{-2}\right).
(a) Assumindo que a place é infinita, determine a expressāo do módulo do campo elétrico E \mathrm{~cm} um ponto próximo à placa. Utilize a Lei de Gauss e justifique a escolha de uma superficic gaussiana adequada.
(b) Calcule o módulo do campo elétrico gerado pela placa em um ponto a 10 cm de sua superficie.
(c) A rigidez dielétrica do ar é de aproximadamente 3.0 \times 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Acima deste valor, o ar se ioniza e pode ocorrer uma descarga eletrica (arco voltaico). Com base no seu calculo a densidade de carga na placa é segura para operar no ar ou ha risco de descarga? Justifique.

Passo 1

Dados fornecidos:
\sigma=4{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{2}} (densidade superficial de carga, positiva).
\varepsilon_{0}=8{,}85\times 10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}\,N^{-1}\,m^{-2}} (permissividade do vácuo / ar).
Rigidez dielétrica do ar: E_{\text{break}}=3{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a expressão do módulo do campo elétrico E num ponto próximo à placa assumindo que ela é infinita (usar a Lei de Gauss e justificar a superfície gaussiana).
(b) Calcular o módulo do campo elétrico num ponto a 10\\ \mathrm{cm} da superfície.
(c) Verificar se a densidade de carga dada é segura em relação à ocorrência de descarga elétrica (comparar com a rigidez dielétrica do ar e justificar).

Passo 2

Breve explicação da Lei de Gauss (aula rápida): a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total enclausurada dividida por \varepsilon_{0}. Em notação:
\oint_{\text{superf.}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Cada símbolo significa: \mathbf{E} é o campo elétrico, d\mathbf{A} é o elemento vetorial de área apontando para fora da superfície fechada, e Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície. Essa lei é poderosa quando há simetrias porque permite transformar a integral de superfície numa simples multiplicação E\cdot A quando o campo é constante sobre partes da superfície.

Passo 3

Justificativa da escolha da superfície gaussiana (simetria): para uma placa infinita com densidade superficial \sigma a situação é simétrica em torno da normal ao plano. Intuição: o campo deve apontar perpendicularmente à placa (não há direção preferencial no plano) e ter mesmo módulo em pontos a mesma distância (na hipótese de placa infinita). Uma superfície conveniente é um “cilindro curto” (também chamado de pillbox) com as duas tampas planas paralelas à placa, uma tampada de cada lado, e com a placa passando pelo meio do cilindro. Essa escolha facilita porque:
  • Nas duas tampas planas o campo é perpendicular à superfície e (por simetria) aproximadamente constante sobre cada tampa.
  • Na superfície lateral curva do cilindro o campo é paralelo à superfície lateral (pois campo é perpendicular ao plano) e portanto \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 lá, contribuindo zero para o fluxo.
    Logo só precisamos considerar o fluxo pelas duas tampas planas.

Passo 4

Calcular o fluxo e a carga encarcerada: seja o cilindro com área de cada tampa A. Supondo que o campo tenha módulo E nas tampas (mesmo em cada lado por simetria) e que a placa esteja no meio, o fluxo total é soma do fluxo pela tampa de cima e pela tampa de baixo:
\Phi = E\cdot A + E\cdot A = 2EA.
A carga contida dentro do cilindro é a carga na porção da placa que intercepta a área A, isto é:
Q_{\text{int}}=\sigma A.
Aplicando a Lei de Gauss:
2EA=\frac{\sigma A}{\varepsilon_{0}}.

Passo 5

Isolar E e obter a expressão do campo: simplificando A dos dois lados e isolando E obtemos
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
Essa é a expressão do módulo do campo elétrico próximo a uma placa plana infinita com densidade superficial \sigma. Observações didáticas: note que E não depende da distância à placa — isso é consequência da hipótese de placa infinita (as linhas de campo são uniformemente distribuídas). Para \sigma>0 o campo aponta para fora da placa em ambos os lados (ou seja, afasta-se da placa).

Passo 6

Aplicando a fórmula aos dados do problema (parte b): substituir \sigma=4{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{2}} e \varepsilon_{0}=8{,}85\times 10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}N^{-1}m^{-2}} na expressão
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
Vamos computar passo a passo:
2\varepsilon_{0}=2\cdot 8{,}85\times 10^{-12}=1{,}77\times 10^{-11}\\ \mathrm{C^{2}N^{-1}m^{-2}}.
Agora
E=\frac{4{,}0\times 10^{-6}}{1{,}77\times 10^{-11}}.
Dividindo: primeiro os fatores numéricos 4{,}0/1{,}77\approx 2{,}259. A diferença de potências dá 10^{-6}/10^{-11}=10^{5}. Portanto
E\approx 2{,}259\times 10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando para três dígitos significativos:
E\approx 2{,}26\times 10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Importante: esse valor vale para qualquer ponto próximo à placa (incluindo a 10\\ \mathrm{cm}) porque o campo não depende da distância no modelo de placa infinita.

Passo 7

Avaliar risco de descarga (parte c): comparar o campo obtido com a rigidez dielétrica do ar E_{\text{break}}=3{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{N/C}. Como
E( \text{placa} )\approx 2{,}26\times 10^{5}\\ \mathrm{N/C} < 3{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{N/C},
o campo gerado está bem abaixo do valor necessário para ionizar o ar em condições normais. Para quantificar a folga, podemos calcular a densidade superficial limite \sigma_{\max} que levaria ao colapso (ou seja, quando E=E_{\text{break}}):
\sigma_{\max}=2\varepsilon_{0}E_{\text{break}}=2\cdot 8{,}85\times 10^{-12}\cdot 3{,}0\times 10^{6}=5{,}31\times 10^{-5}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Comparando com a \sigma dada:
\frac{\sigma_{\max}}{\sigma}=\frac{5{,}31\times 10^{-5}}{4{,}0\times 10^{-6}}\approx 13{,}3.
Isto é, a densidade dada é cerca de 13 vezes menor que a densidade que causaria ruptura do ar no modelo ideal. Conclusão técnica: sob as hipóteses do problema e no modelo de placa infinita, não há risco imediato de descarga (campo abaixo da rigidez dielétrica). Observação prática: em aplicações reais a presença de cantos, protuberâncias, partículas, alta umidade, contaminações ou efeitos de ponta podem aumentar localmente o campo e reduzir a margem de segurança, então na prática recomenda-se sempre medidas de proteção e margens maiores. Mas matematicamente, com os dados fornecidos, é seguro.

Resposta

(a) \displaystyle E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.\n(b) \displaystyle E\approx 2{,}26\times 10^{5}\\ \mathrm{N/C} (independente da distância, logo vale a 10\\ \mathrm{cm}).\n(c) Seguro: o campo calculado 2{,}26\times 10^{5}\\ \mathrm{N/C} é bem menor que a rigidez dielétrica do ar 3{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{N/C}; a densidade limite seria \sigma_{\max}\approx 5{,}31\times 10^{-5}\\ \mathrm{C/m^{2}}, cerca de 13 vezes a \sigma dada.

Exercícios relacionados