Utua grande placa plana e nāo-condutora, utilizada em um filtro eletrostatico industrial, pode ser modelada como um plano infinito com uma densidade superficial de carga uniforme e positiva of
A placa está imersa no ar (meio com permissividade
.
(a) Assumindo que a place é infinita, determine a expressāo do módulo do campo elétrico
um ponto próximo à placa. Utilize a Lei de Gauss e justifique a escolha de uma superficic gaussiana adequada.
(b) Calcule o módulo do campo elétrico gerado pela placa em um ponto a 10 cm de sua superficie.
(c) A rigidez dielétrica do ar é de aproximadamente
. Acima deste valor, o ar se ioniza e pode ocorrer uma descarga eletrica (arco voltaico). Com base no seu calculo a densidade de carga na placa é segura para operar no ar ou ha risco de descarga? Justifique.
(a) Assumindo que a place é infinita, determine a expressāo do módulo do campo elétrico
(b) Calcule o módulo do campo elétrico gerado pela placa em um ponto a 10 cm de sua superficie.
(c) A rigidez dielétrica do ar é de aproximadamente
Passo 1
Dados fornecidos:
(densidade superficial de carga, positiva).
(permissividade do vácuo / ar).
Rigidez dielétrica do ar: .
Rigidez dielétrica do ar:
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a expressão do módulo do campo elétrico num ponto próximo à placa assumindo que ela é infinita (usar a Lei de Gauss e justificar a superfície gaussiana).
(b) Calcular o módulo do campo elétrico num ponto a da superfície.
(c) Verificar se a densidade de carga dada é segura em relação à ocorrência de descarga elétrica (comparar com a rigidez dielétrica do ar e justificar).
(a) Determinar a expressão do módulo do campo elétrico
(b) Calcular o módulo do campo elétrico num ponto a
(c) Verificar se a densidade de carga dada é segura em relação à ocorrência de descarga elétrica (comparar com a rigidez dielétrica do ar e justificar).
Passo 2
Breve explicação da Lei de Gauss (aula rápida): a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total enclausurada dividida por
. Em notação:
Cada símbolo significa:
é o campo elétrico,
é o elemento vetorial de área apontando para fora da superfície fechada, e
é a carga total dentro da superfície. Essa lei é poderosa quando há simetrias porque permite transformar a integral de superfície numa simples multiplicação
quando o campo é constante sobre partes da superfície.
Passo 3
Justificativa da escolha da superfície gaussiana (simetria): para uma placa infinita com densidade superficial
a situação é simétrica em torno da normal ao plano. Intuição: o campo deve apontar perpendicularmente à placa (não há direção preferencial no plano) e ter mesmo módulo em pontos a mesma distância (na hipótese de placa infinita). Uma superfície conveniente é um “cilindro curto” (também chamado de pillbox) com as duas tampas planas paralelas à placa, uma tampada de cada lado, e com a placa passando pelo meio do cilindro. Essa escolha facilita porque:
- Nas duas tampas planas o campo é perpendicular à superfície e (por simetria) aproximadamente constante sobre cada tampa.
- Na superfície lateral curva do cilindro o campo é paralelo à superfície lateral (pois campo é perpendicular ao plano) e portanto
lá, contribuindo zero para o fluxo.
Logo só precisamos considerar o fluxo pelas duas tampas planas.
Passo 4
Calcular o fluxo e a carga encarcerada: seja o cilindro com área de cada tampa
. Supondo que o campo tenha módulo
nas tampas (mesmo em cada lado por simetria) e que a placa esteja no meio, o fluxo total é soma do fluxo pela tampa de cima e pela tampa de baixo:
A carga contida dentro do cilindro é a carga na porção da placa que intercepta a área
, isto é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 5
Isolar
e obter a expressão do campo: simplificando
dos dois lados e isolando
obtemos
Essa é a expressão do módulo do campo elétrico próximo a uma placa plana infinita com densidade superficial
. Observações didáticas: note que
não depende da distância à placa — isso é consequência da hipótese de placa infinita (as linhas de campo são uniformemente distribuídas). Para
o campo aponta para fora da placa em ambos os lados (ou seja, afasta-se da placa).
Passo 6
Aplicando a fórmula aos dados do problema (parte b): substituir
e
na expressão
Vamos computar passo a passo:
Agora
Dividindo: primeiro os fatores numéricos
. A diferença de potências dá
. Portanto
Arredondando para três dígitos significativos:
Importante: esse valor vale para qualquer ponto próximo à placa (incluindo a
) porque o campo não depende da distância no modelo de placa infinita.
Passo 7
Avaliar risco de descarga (parte c): comparar o campo obtido com a rigidez dielétrica do ar
. Como
o campo gerado está bem abaixo do valor necessário para ionizar o ar em condições normais. Para quantificar a folga, podemos calcular a densidade superficial limite
que levaria ao colapso (ou seja, quando
):
Comparando com a
dada:
Isto é, a densidade dada é cerca de
vezes menor que a densidade que causaria ruptura do ar no modelo ideal. Conclusão técnica: sob as hipóteses do problema e no modelo de placa infinita, não há risco imediato de descarga (campo abaixo da rigidez dielétrica). Observação prática: em aplicações reais a presença de cantos, protuberâncias, partículas, alta umidade, contaminações ou efeitos de ponta podem aumentar localmente o campo e reduzir a margem de segurança, então na prática recomenda-se sempre medidas de proteção e margens maiores. Mas matematicamente, com os dados fornecidos, é seguro.
Resposta
(a)
.\n(b)
(independente da distância, logo vale a
).\n(c) Seguro: o campo calculado
é bem menor que a rigidez dielétrica do ar
; a densidade limite seria
, cerca de
vezes a
dada.