Duas cargas pontuais:
  • q_{1}=-200 \mu \mathrm{C} está em A=(1,2,1) \mathrm{m}
  • q_{2}=+300 \mu \mathrm{C} está em B=(3,0,2) \mathrm{m}
Uma terceira carga:
  • q=+100 \mu \mathrm{C} está em C=(-1,2,3) \mathrm{m}
Calcule a força resultante sobre a carga q devido as cargas q_{1} e q_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá três cargas pontuais em coordenadas cartesianas (em metros) e pede a força resultante sobre a carga \displaystyle q=+100\;\mu\mathrm C em \displaystyle C=(-1,2,3)
devida a \displaystyle q_{1}=-200\;\mu\mathrm C em \displaystyle A=(1,2,1)
e \displaystyle q_{2}=+300\;\mu\mathrm C em \displaystyle B=(3,0,2).
O conteúdo é a Lei de Coulomb, que diz que a força sobre uma carga q devido a outra q' é
\mathbf{F} \;=\; k\,\frac{q\,q'}{r^3}\,\mathbf{r},
onde \mathbf{r}=\mathbf{r}_q-\mathbf{r}_{q'} e r=|\mathbf{r}|, com k=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^2/C^2}.

Passo 2

Calcular \mathbf{F}_1, força de q_1 sobre q.
O vetor de q_1 para q é
\mathbf{r}_{1C} =\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_A =(-1,2,3)-(1,2,1) =(-2,0,2).
Seu módulo é
r_{1C}=|\mathbf{r}_{1C}|=\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2} =\sqrt{8}=2\sqrt2.
Logo
\mathbf{F}_1 =k\,\frac{q\,q_1}{r_{1C}^3}\,\mathbf{r}_{1C} =8{,}99\times10^{9}\, \frac{(100\times10^{-6})(-200\times10^{-6})}{(2\sqrt2)^3} \;(-2,0,2).
Calculando numérico:
(2\sqrt2)^3=8\sqrt2,\quad q\,q_1=-2\times10^{-8}\,\mathrm{C^2},
\mathbf{F}_1 =8{,}99\times10^{9}\,\frac{-2\times10^{-8}}{8\sqrt2}\,(-2,0,2) \approx(15{,}9,\,0,\,-15{,}9)\;\mathrm{N}.

Passo 3

Calcular \mathbf{F}_2, força de q_2 sobre q.
O vetor de q_2 para q é
\mathbf{r}_{2C} =\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_B =(-1,2,3)-(3,0,2) =(-4,2,1).
Seu módulo é
r_{2C} =\sqrt{(-4)^2+2^2+1^2} =\sqrt{21}\approx4{,}583.
Logo
\mathbf{F}_2 =k\,\frac{q\,q_2}{r_{2C}^3}\,\mathbf{r}_{2C} =8{,}99\times10^{9}\, \frac{(100\times10^{-6})(300\times10^{-6})}{(\sqrt{21})^3} \,(-4,2,1).
Numericamente:
(\sqrt{21})^3=21\sqrt{21}\approx96{,}24,\quad q\,q_2=3\times10^{-8}\,\mathrm{C^2},
\mathbf{F}_2 \approx8{,}99\times10^{9}\,\frac{3\times10^{-8}}{96{,}24}\,(-4,2,1) \approx(-11{,}21,\,5{,}60,\,2{,}80)\;\mathrm{N}.

Passo 4

Somar vetorialmente \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2:
\mathbf{F} =\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 \approx(15{,}9,\,0,\,-15{,}9)+(-11{,}21,\,5{,}60,\,2{,}80)
\mathbf{F} \approx(4{,}69,\,5{,}60,\,-13{,}10)\;\mathrm{N}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}\approx(4{,}69,\,5{,}60,\,-13{,}10)\;\mathrm{N}.

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