Duas cargas pontuais de 8 nC e -5 nC estão separadas por uma distância de 4 cm no espaço livre. Encontre o vetor da força em cada carga. Qual é a força resultante no sistema?

Passo 1

O enunciado dá duas cargas puntuais separadas por uma distância e pede: (1) o vetor da força sobre cada carga e (2) a força resultante do sistema. Informações fornecidas:
  • q_1 = 8\\ \text{nC}.
  • q_2 = -5\\ \text{nC}.
  • Distância entre as cargas: 4\\ \text{cm}.
    As perguntas são:
  1. Qual o vetor da força em q_1?
  2. Qual o vetor da força em q_2?
  3. Qual a força resultante (soma vetorial) no sistema?

Passo 2

Vamos escrever a lei de Coulomb na forma vetorial e explicar cada termo. A força eletrostática que a carga q_2 exerce sobre q_1 é dada por
\mathbf{F}_{12} = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}_{12},
onde:
  • k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática do vácuo (valendo aproximadamente k = 8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}});
  • q_1 e q_2 são as cargas em coulombs;
  • r é a distância entre as cargas em metros;
  • \hat{\mathbf{r}}_{12} é o versor (vetor unitário) apontando de q_1 para q_2.
    Observações importantes e intuitivas: o sinal de q_1 q_2 determina se a força é de atração (produto negativo) ou repulsão (produto positivo). A magnitude da força é
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
e a direção vem do versor \hat{\mathbf{r}}_{12} (ou seu oposto, dependendo do sinal).

Passo 3

Escolhemos um sistema de coordenadas simples para representar vetores:
  • Colocamos q_1 na origem, em x=0.
  • Colocamos q_2 na posição x=+4\\ \text{cm} (ou seja, +0{,}04\\ \text{m}).
    Assim o versor \hat{\mathbf{r}}_{12} (de q_1 para q_2) é \hat{\mathbf{i}} (o versor na direção +x). Agora convertemos unidades para SI:
q_1 = 8\\ \text{nC} = 8\times10^{-9}\\ \mathrm{C},
q_2 = -5\\ \text{nC} = -5\times10^{-9}\\ \mathrm{C},
r = 4\\ \text{cm} = 0{,}04\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calculamos a magnitude da força usando a fórmula da lei de Coulomb. Primeiro o produto das cargas:
q_1 q_2 = (8\times10^{-9})(-5\times10^{-9}) = -40\times10^{-18} = -4{,}0\times10^{-17}\\ \mathrm{C^2}.
Tomamos o valor absoluto para a magnitude:
|q_1 q_2| = 4{,}0\times10^{-17}\\ \mathrm{C^2}.
Calculamos r^2:
r^2 = (0{,}04)^2 = 0{,}0016 = 1{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
A magnitude é então
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2} = (8{,}988\times10^{9})\cdot\frac{4{,}0\times10^{-17}}{1{,}6\times10^{-3}}.
Fazendo a divisão dentro:
\frac{4{,}0\times10^{-17}}{1{,}6\times10^{-3}} = 2{,}5\times10^{-14}.
Multiplicando por k:
F = 8{,}988\times10^{9}\cdot 2{,}5\times10^{-14} = 2{,}247\times10^{-4}\\ \mathrm{N}.
Arredondando com três algarismos significativos:
F \approx 2{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Agora determinamos a direção dos vetores de força (usando o sinal das cargas e nossa escolha de eixo):
  • Temos q_1>0 e q_2<0, ou seja, cargas de sinais opostos → elas se atraem.
  • Logo q_1 (em x=0) é atraída para a direita, na direção de q_2, isto é, na direção +\hat{\mathbf{i}}.
  • q_2 (em x=+0{,}04\\ \mathrm{m}) é atraída para a esquerda, na direção de q_1, isto é, -\hat{\mathbf{i}}.
    Portanto os vetores força são:
\mathbf{F}_1 = +F\,\hat{\mathbf{i}} = +2{,}247\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{N}\approx 2{,}25\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{N},
\mathbf{F}_2 = -F\,\hat{\mathbf{i}} = -2{,}247\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{N}\approx -2{,}25\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{N}.
Explicação física rápida: essas duas forças são iguais em módulo e opostas em direção (lei de ação e reação — terceira lei de Newton).

Passo 6

A força resultante (vetorial) do sistema é a soma das forças internas:
\mathbf{F}_{\text{resultante}} = \mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 = 2{,}247\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{i}} + (-2{,}247\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{i}}) = \mathbf{0}.
Ou seja, a soma vetorial é zero porque as forças internas entre as duas cargas se anulam mutuamente.

Resposta

\mathbf{F}_1 = 2{,}247\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{N}\\ (\approx 2{,}25\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{N})\n
\mathbf{F}_2 = -2{,}247\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{N}\\ (\approx -2{,}25\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{N})\n
\mathbf{F}_{\text{resultante}} = \mathbf{0}

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